Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
2 |
|
elicc01 |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
3 |
2
|
simp1bi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
4 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
5 |
1 3 4
|
sylancr |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
6 |
5
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
8 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
9 |
|
ax5seglem3a |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) ) |
10 |
9
|
simpld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
11 |
10
|
resqcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
12 |
8 11
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
13 |
10
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
14 |
8 11 13
|
fsumge0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
15 |
12 14
|
resqrtcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
16 |
15
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
17 |
7 16
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
18 |
|
elicc01 |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑆 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑆 ∧ 𝑆 ≤ 1 ) ) |
19 |
18
|
simp1bi |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
20 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
21 |
1 19 20
|
sylancr |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
23 |
22
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℝ ) |
24 |
9
|
simprd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℝ ) |
25 |
24
|
resqcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
26 |
8 25
|
fsumrecl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
27 |
24
|
sqge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 0 ≤ ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
28 |
8 25 27
|
fsumge0 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
29 |
26 28
|
resqrtcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
30 |
29
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℝ ) |
31 |
23 30
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
32 |
2
|
simp3bi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ≤ 1 ) |
33 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ↔ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
34 |
1 3 33
|
sylancr |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ↔ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
35 |
32 34
|
mpbird |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) |
36 |
35
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) |
37 |
36
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑇 ) ) |
38 |
12 14
|
sqrtge0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
39 |
38
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
40 |
7 16 37 39
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
41 |
18
|
simp3bi |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑆 ≤ 1 ) |
42 |
|
subge0 |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑆 ) ↔ 𝑆 ≤ 1 ) ) |
43 |
1 19 42
|
sylancr |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 0 ≤ ( 1 − 𝑆 ) ↔ 𝑆 ≤ 1 ) ) |
44 |
41 43
|
mpbird |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑆 ) ) |
45 |
44
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑆 ) ) |
46 |
45
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( 1 − 𝑆 ) ) |
47 |
26 28
|
sqrtge0d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 0 ≤ ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
48 |
47
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
49 |
23 30 46 48
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
50 |
|
resqrtth |
⊢ ( ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
51 |
12 14 50
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
52 |
51
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
53 |
52
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
54 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
55 |
3
|
recnd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
56 |
55
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
57 |
56
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
58 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
59 |
54 57 58
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
60 |
15
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
61 |
60
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
62 |
59 61
|
sqmuld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
63 |
|
resqrtth |
⊢ ( ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
64 |
26 28 63
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
65 |
64
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
66 |
65
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
67 |
19
|
recnd |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑆 ∈ ℂ ) |
68 |
67
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝑆 ∈ ℂ ) |
69 |
68
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑆 ∈ ℂ ) |
70 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℂ ) |
71 |
54 69 70
|
sylancr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 − 𝑆 ) ∈ ℂ ) |
72 |
29
|
recnd |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
73 |
72
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∈ ℂ ) |
74 |
71 73
|
sqmuld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
75 |
|
simp3r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) |
76 |
|
simp122 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
77 |
|
simp123 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
78 |
|
simp132 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
79 |
|
simp133 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
80 |
|
brcgr |
⊢ ( ( ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
81 |
76 77 78 79 80
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
82 |
75 81
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
83 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
84 |
|
simp121 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
85 |
|
simp2ll |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) |
86 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
87 |
|
ax5seglem2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
88 |
83 84 77 85 86 87
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
89 |
|
simp131 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
90 |
|
simp2lr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) |
91 |
|
simp2rr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) |
92 |
|
ax5seglem2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
93 |
83 89 79 90 91 92
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
94 |
82 88 93
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
95 |
66 74 94
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
96 |
53 62 95
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
97 |
17 31 40 49 96
|
sq11d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
98 |
3
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
99 |
98
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
100 |
99 16
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
101 |
19
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
102 |
101
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 𝑆 ∈ ℝ ) |
103 |
102 30
|
remulcld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ∈ ℝ ) |
104 |
2
|
simp2bi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
105 |
104
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
106 |
105
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ 𝑇 ) |
107 |
99 16 106 39
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
108 |
18
|
simp2bi |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 0 ≤ 𝑆 ) |
109 |
108
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 0 ≤ 𝑆 ) |
110 |
109
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ 𝑆 ) |
111 |
102 30 110 48
|
mulge0d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 0 ≤ ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
112 |
51
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
113 |
112
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
114 |
57 61
|
sqmuld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
115 |
65
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
116 |
69 73
|
sqmuld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
117 |
|
simp3l |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ) |
118 |
|
brcgr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
119 |
84 76 89 78 118
|
syl22anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
120 |
117 119
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
121 |
|
ax5seglem1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
122 |
83 84 77 85 86 121
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
123 |
|
ax5seglem1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
124 |
83 89 79 90 91 123
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐸 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
125 |
120 122 124
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( ( 𝑆 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
126 |
115 116 125
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑇 ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
127 |
113 114 126
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
128 |
100 103 107 111 127
|
sq11d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
129 |
97 128
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
130 |
59 57 61
|
adddird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑇 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
131 |
71 69 73
|
adddird |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) + ( 𝑆 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) ) |
132 |
129 130 131
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
133 |
|
npcan |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 ) |
134 |
54 55 133
|
sylancr |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 ) |
135 |
134
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) = 1 ) |
136 |
135
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
137 |
136
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
138 |
137
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
139 |
60
|
mulid2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
140 |
139
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
141 |
138 140
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) + 𝑇 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
142 |
|
npcan |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) = 1 ) |
143 |
54 67 142
|
sylancr |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) = 1 ) |
144 |
143
|
oveq1d |
⊢ ( 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
145 |
144
|
ad2antlr |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
146 |
145
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) ) |
147 |
72
|
mulid2d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
148 |
147
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( 1 · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
149 |
146 148
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( ( 1 − 𝑆 ) + 𝑆 ) · ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
150 |
132 141 149
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
151 |
|
sqrt11 |
⊢ ( ( ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ∧ ( Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
152 |
12 14 26 28 151
|
syl22anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
153 |
152
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → ( ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = ( √ ‘ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ↔ Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
154 |
150 153
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐸 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐹 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ 𝑆 ∈ ( 0 [,] 1 ) ) ∧ ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐸 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑆 ) · ( 𝐷 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑆 · ( 𝐹 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ ( 〈 𝐴 , 𝐵 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐸 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝐶 〉 Cgr 〈 𝐸 , 𝐹 〉 ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐷 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐹 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |