Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpl2l |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
2 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
3 |
1 2
|
sylancom |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
4 |
|
simpl2r |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
5 |
|
fveecn |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
6 |
4 5
|
sylancom |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
7 |
|
elicc01 |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ↔ ( 𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑇 ∧ 𝑇 ≤ 1 ) ) |
8 |
7
|
simp1bi |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℝ ) |
9 |
8
|
recnd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
10 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
11 |
10
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
12 |
11
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
13 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) ) |
14 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) |
15 |
14
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) = ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ) |
16 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) |
17 |
16
|
oveq2d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) = ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) |
18 |
15 17
|
oveq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
19 |
13 18
|
eqeq12d |
⊢ ( 𝑖 = 𝑗 → ( ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ↔ ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) |
20 |
19
|
rspccva |
⊢ ( ( ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
21 |
20
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
22 |
21
|
3ad2antl3 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
23 |
|
oveq1 |
⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) → ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) |
24 |
23
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) |
25 |
|
ax-1cn |
⊢ 1 ∈ ℂ |
26 |
|
subcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
27 |
25 26
|
mpan |
⊢ ( 𝑇 ∈ ℂ → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
28 |
27
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ) |
29 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
30 |
28 29
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
31 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → 𝑇 ∈ ℂ ) |
32 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
33 |
31 32
|
mulcld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
34 |
30 33 32
|
addsubassd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
35 |
|
subdi |
⊢ ( ( ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
36 |
27 35
|
syl3an1 |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
37 |
36
|
3coml |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
38 |
|
subdir |
⊢ ( ( 1 ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
39 |
25 38
|
mp3an1 |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
40 |
39
|
ancoms |
⊢ ( ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
41 |
40
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
42 |
|
mulid2 |
⊢ ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ → ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) |
43 |
42
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ → ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
44 |
43
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
45 |
41 44
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
46 |
45
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) ) |
47 |
30 32 33
|
subsub2d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) − ( ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) − ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
48 |
37 46 47
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
49 |
34 48
|
eqtr4d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) = ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) |
50 |
49
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ↑ 2 ) ) |
51 |
|
subcl |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
52 |
51
|
3adant3 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
28 52
|
sqmuld |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
54 |
50 53
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) → ( ( ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
55 |
24 54
|
sylan9eqr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ∧ 𝑇 ∈ ℂ ) ∧ ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
56 |
3 6 12 22 55
|
syl31anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
57 |
56
|
sumeq2dv |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
58 |
|
fzfid |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( 1 ... 𝑁 ) ∈ Fin ) |
59 |
|
1re |
⊢ 1 ∈ ℝ |
60 |
|
resubcl |
⊢ ( ( 1 ∈ ℝ ∧ 𝑇 ∈ ℝ ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
61 |
59 8 60
|
sylancr |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( 1 − 𝑇 ) ∈ ℝ ) |
62 |
61
|
resqcld |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) ∈ ℝ ) |
63 |
62
|
recnd |
⊢ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
64 |
63
|
adantr |
⊢ ( ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
65 |
64
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
66 |
2
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
67 |
66
|
3adant2r |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
68 |
5
|
3adant1 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
69 |
68
|
3adant2l |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ∈ ℂ ) |
70 |
67 69
|
subcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ∈ ℂ ) |
71 |
70
|
sqcld |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
72 |
71
|
3expa |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
73 |
72
|
3adantl3 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) ∧ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ∈ ℂ ) |
74 |
58 65 73
|
fsummulc2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) = Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |
75 |
57 74
|
eqtr4d |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑇 ∈ ( 0 [,] 1 ) ∧ ∀ 𝑖 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( 𝐵 ‘ 𝑖 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) · ( 𝐴 ‘ 𝑖 ) ) + ( 𝑇 · ( 𝐶 ‘ 𝑖 ) ) ) ) ) → Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐵 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) = ( ( ( 1 − 𝑇 ) ↑ 2 ) · Σ 𝑗 ∈ ( 1 ... 𝑁 ) ( ( ( 𝐴 ‘ 𝑗 ) − ( 𝐶 ‘ 𝑗 ) ) ↑ 2 ) ) ) |