Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bj-bary1.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
2 |
|
bj-bary1.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
3 |
|
bj-bary1.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ ) |
4 |
|
bj-bary1.neq |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
5 |
|
bj-bary1.s |
⊢ ( 𝜑 → 𝑆 ∈ ℂ ) |
6 |
|
bj-bary1.t |
⊢ ( 𝜑 → 𝑇 ∈ ℂ ) |
7 |
5 1
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 · 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
8 |
6 2
|
mulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑇 · 𝐵 ) ∈ ℂ ) |
9 |
7 8
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) = ( ( 𝑇 · 𝐵 ) + ( 𝑆 · 𝐴 ) ) ) |
10 |
9
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ↔ 𝑋 = ( ( 𝑇 · 𝐵 ) + ( 𝑆 · 𝐴 ) ) ) ) |
11 |
10
|
biimpd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) → 𝑋 = ( ( 𝑇 · 𝐵 ) + ( 𝑆 · 𝐴 ) ) ) ) |
12 |
5 6
|
addcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 + 𝑇 ) = ( 𝑇 + 𝑆 ) ) |
13 |
12
|
eqeq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ↔ ( 𝑇 + 𝑆 ) = 1 ) ) |
14 |
13
|
biimpd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 → ( 𝑇 + 𝑆 ) = 1 ) ) |
15 |
4
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 ) |
16 |
2 1 3 15 6 5
|
bj-bary1lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑇 · 𝐵 ) + ( 𝑆 · 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑇 + 𝑆 ) = 1 ) → 𝑆 = ( ( 𝑋 − 𝐵 ) / ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) ) |
17 |
11 14 16
|
syl2and |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) → 𝑆 = ( ( 𝑋 − 𝐵 ) / ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ) ) |
18 |
3 2 1 2 4
|
div2subd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 − 𝐵 ) / ( 𝐴 − 𝐵 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) |
19 |
18
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑆 = ( ( 𝑋 − 𝐵 ) / ( 𝐴 − 𝐵 ) ) ↔ 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
20 |
17 19
|
sylibd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) → 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
21 |
1 2 3 4 5 6
|
bj-bary1lem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) → 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
22 |
20 21
|
jcad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) → ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) ) |
23 |
1 2 3 4
|
bj-bary1lem |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 = ( ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) + ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) ) |
24 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) → ( 𝑆 · 𝐴 ) = ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) ) |
25 |
|
oveq1 |
⊢ ( 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) → ( 𝑇 · 𝐵 ) = ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) |
26 |
24 25
|
oveqan12d |
⊢ ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) + ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) ) |
27 |
26
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) + ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) ) ) |
28 |
|
eqtr3 |
⊢ ( ( 𝑋 = ( ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) + ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) ∧ ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) = ( ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐴 ) + ( ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) · 𝐵 ) ) ) → 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ) |
29 |
23 27 28
|
syl6an |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ) ) |
30 |
|
oveq12 |
⊢ ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑆 + 𝑇 ) = ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
31 |
2 3
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) ∈ ℂ ) |
32 |
3 1
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
33 |
2 1
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ∈ ℂ ) |
34 |
2 1 15
|
subne0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) ≠ 0 ) |
35 |
31 32 33 34
|
divdird |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) + ( 𝑋 − 𝐴 ) ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) |
36 |
2 3 1
|
npncand |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝑋 ) + ( 𝑋 − 𝐴 ) ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) ) |
37 |
33 34 36
|
diveq1bd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) + ( 𝑋 − 𝐴 ) ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) = 1 ) |
38 |
35 37
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) = 1 ) |
39 |
38
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 + 𝑇 ) = ( ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) + ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ↔ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) ) |
40 |
30 39
|
syl5ib |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) ) |
41 |
29 40
|
jcad |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) → ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) ) ) |
42 |
22 41
|
impbid |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑋 = ( ( 𝑆 · 𝐴 ) + ( 𝑇 · 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑆 + 𝑇 ) = 1 ) ↔ ( 𝑆 = ( ( 𝐵 − 𝑋 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ∧ 𝑇 = ( ( 𝑋 − 𝐴 ) / ( 𝐵 − 𝐴 ) ) ) ) ) |