Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
bnj1189.1 |
⊢ ( 𝜑 ↔ ( 𝑅 FrSe 𝐴 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅ ) ) |
2 |
|
bnj1189.2 |
⊢ ( 𝜓 ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
3 |
|
bnj1189.3 |
⊢ ( 𝜒 ↔ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
4 |
|
n0 |
⊢ ( 𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
5 |
4
|
biimpi |
⊢ ( 𝐵 ≠ ∅ → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
6 |
1 5
|
bnj837 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
7 |
6
|
ancli |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
8 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑥 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
9 |
7 8
|
sylibr |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) ) |
10 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) ) |
11 |
3
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
12 |
10 11
|
sylib |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
13 |
12
|
19.8ad |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
14 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
15 |
13 14
|
sylibr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝜒 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
16 |
15
|
3comr |
⊢ ( ( 𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
17 |
16
|
3expib |
⊢ ( 𝜒 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
18 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → 𝜑 ) |
19 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → 𝑥 ∈ 𝐵 ) |
20 |
|
rexnal |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ¬ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
21 |
20
|
bicomi |
⊢ ( ¬ ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
22 |
21 3
|
xchnxbir |
⊢ ( ¬ 𝜒 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
23 |
|
notnotb |
⊢ ( 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ¬ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
24 |
23
|
rexbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
25 |
22 24
|
bitr4i |
⊢ ( ¬ 𝜒 ↔ ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
26 |
25
|
biimpi |
⊢ ( ¬ 𝜒 → ∃ 𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
27 |
26
|
bnj1196 |
⊢ ( ¬ 𝜒 → ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
28 |
27
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
29 |
|
3anass |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) |
30 |
29
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) |
31 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) |
32 |
30 31
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) ) |
33 |
19 28 32
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
34 |
33 2
|
bnj1198 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑦 𝜓 ) |
35 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ↔ ( 𝜑 ∧ ∃ 𝑦 𝜓 ) ) |
36 |
18 34 35
|
sylanbrc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑦 ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) ) |
37 |
1 2
|
bnj1190 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝜓 ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧 𝑅 𝑤 ) |
38 |
36 37
|
bnj593 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑦 ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧 𝑅 𝑤 ) |
39 |
38
|
bnj937 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑤 ∈ 𝐵 ∀ 𝑧 ∈ 𝐵 ¬ 𝑧 𝑅 𝑤 ) |
40 |
39
|
bnj1185 |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝜒 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
41 |
40
|
3comr |
⊢ ( ( ¬ 𝜒 ∧ 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
42 |
41
|
3expib |
⊢ ( ¬ 𝜒 → ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) ) |
43 |
17 42
|
pm2.61i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
44 |
9 43
|
bnj593 |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
45 |
|
nfre1 |
⊢ Ⅎ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 |
46 |
45
|
19.9 |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |
47 |
44 46
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝐵 ∀ 𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦 𝑅 𝑥 ) |