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Theorem cdlemk49

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Line 5, p. 120. G , I stand for g, h. X represents tau. (Contributed by NM, 23-Jul-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
Assertion cdlemk49 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk5.b 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 )
2 cdlemk5.l = ( le ‘ 𝐾 )
3 cdlemk5.j = ( join ‘ 𝐾 )
4 cdlemk5.m = ( meet ‘ 𝐾 )
5 cdlemk5.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6 cdlemk5.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7 cdlemk5.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
8 cdlemk5.r 𝑅 = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
9 cdlemk5.z 𝑍 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑏 ) ) ( ( 𝑁𝑃 ) ( 𝑅 ‘ ( 𝑏 𝐹 ) ) ) )
10 cdlemk5.y 𝑌 = ( ( 𝑃 ( 𝑅𝑔 ) ) ( 𝑍 ( 𝑅 ‘ ( 𝑔 𝑏 ) ) ) )
11 cdlemk5.x 𝑋 = ( 𝑧𝑇𝑏𝑇 ( ( 𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝐹 ) ∧ ( 𝑅𝑏 ) ≠ ( 𝑅𝑔 ) ) → ( 𝑧𝑃 ) = 𝑌 ) )
12 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
13 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
14 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
15 simp21 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝑁𝑇 )
16 simp22 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) )
17 simp23 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) )
18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
19 12 13 14 15 16 17 18 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 )
20 simp3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) )
21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk35s ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ 𝑁𝑇 ) ∧ ( ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 )
22 12 13 20 15 16 17 21 syl132anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 )
23 6 7 ltrncom ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑇 𝐼 / 𝑔 𝑋𝑇 ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) = ( 𝐼 / 𝑔 𝑋 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) )
24 12 19 22 23 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) = ( 𝐼 / 𝑔 𝑋 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) )
25 24 fveq1d ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) = ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) )
26 simp2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) )
27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cdlemk48 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) )
28 12 13 20 26 14 27 syl311anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐼 / 𝑔 𝑋 𝐺 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) )
29 25 28 eqbrtrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) ∧ ( 𝑁𝑇 ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑅𝐹 ) = ( 𝑅𝑁 ) ) ∧ ( 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵 ) ) ) → ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ‘ 𝑃 ) ( ( 𝐺 / 𝑔 𝑋𝑃 ) ( 𝑅 𝐼 / 𝑔 𝑋 ) ) )