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Theorem cgracgr

Description: First direction of proposition 11.4 of Schwabhauser p. 95. Again, this is "half" of the proposition, i.e. only two additional points are used, while Schwabhauser has four. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jul-2020)

Ref Expression
Hypotheses iscgra.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
iscgra.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
iscgra.k ⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
iscgra.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
iscgra.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
iscgra.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
iscgra.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
iscgra.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
iscgra.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
iscgra.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
cgrahl1.2 ⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ )
cgrahl1.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
cgracgr.m ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
cgracgr.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
cgracgr.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐴 )
cgracgr.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐶 )
cgracgr.3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
cgracgr.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑌 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )
Assertion cgracgr ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 iscgra.p ⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2 iscgra.i ⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
3 iscgra.k ⊢ 𝐾 = ( hlG ‘ 𝐺 )
4 iscgra.g ⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
5 iscgra.a ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
6 iscgra.b ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
7 iscgra.c ⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
8 iscgra.d ⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
9 iscgra.e ⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
10 iscgra.f ⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
11 cgrahl1.2 ⊢ ( 𝜑 → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ )
12 cgrahl1.x ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑃 )
13 cgracgr.m ⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
14 cgracgr.y ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑃 )
15 cgracgr.1 ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐴 )
16 cgracgr.2 ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐶 )
17 cgracgr.3 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑋 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
18 cgracgr.4 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝑌 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )
19 eqid ⊢ ( LineG ‘ 𝐺 ) = ( LineG ‘ 𝐺 )
20 4 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
21 5 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
22 6 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
23 12 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑋 ∈ 𝑃 )
24 eqid ⊢ ( cgrG ‘ 𝐺 ) = ( cgrG ‘ 𝐺 )
25 simpllr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑥 ∈ 𝑃 )
26 9 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
27 14 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑌 ∈ 𝑃 )
28 8 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
29 10 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 )
30 1 2 3 12 5 6 4 15 hlne2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵 )
31 30 necomd ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐴 )
32 1 2 3 12 5 6 4 19 15 hlln ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐴 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) )
33 1 2 19 4 6 5 12 31 32 lncom ⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝐵 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝐴 ) )
34 33 orcd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝐴 ) ∨ 𝐵 = 𝐴 ) )
35 1 19 2 4 6 5 12 34 colrot1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑋 ) ∨ 𝐴 = 𝑋 ) )
36 35 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑋 ) ∨ 𝐴 = 𝑋 ) )
37 7 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
38 simplr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑦 ∈ 𝑃 )
39 simpr1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ )
40 1 13 2 24 20 21 22 37 25 26 38 39 cgr3simp1 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝑥 − 𝐸 ) )
41 17 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝑋 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
42 eqid ⊢ ( ≤G ‘ 𝐺 ) = ( ≤G ‘ 𝐺 )
43 simpr2 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 )
44 1 2 3 25 28 26 20 ishlg ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ↔ ( 𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑥 ) ) ) ) )
45 43 44 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑥 ≠ 𝐸 ∧ 𝐷 ≠ 𝐸 ∧ ( 𝑥 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑥 ) ) ) )
46 45 simp3d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑥 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐷 ) ∨ 𝐷 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑥 ) ) )
47 1 2 3 12 5 6 4 ishlg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐴 ↔ ( 𝑋 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) ∨ 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑋 ) ) ) ) )
48 15 47 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) ∨ 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑋 ) ) ) )
49 48 simp3d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) ∨ 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑋 ) ) )
50 49 orcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) ) )
51 50 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑋 ) ∨ 𝑋 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) ) )
52 40 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑥 − 𝐸 ) = ( 𝐴 − 𝐵 ) )
53 1 13 2 20 25 26 21 22 52 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐸 − 𝑥 ) = ( 𝐵 − 𝐴 ) )
54 41 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐸 − 𝐷 ) = ( 𝐵 − 𝑋 ) )
55 1 13 2 42 20 26 25 28 22 22 21 23 46 51 53 54 tgcgrsub2 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑥 − 𝐷 ) = ( 𝐴 − 𝑋 ) )
56 55 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐴 − 𝑋 ) = ( 𝑥 − 𝐷 ) )
57 1 13 2 20 21 23 25 28 56 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑋 − 𝐴 ) = ( 𝐷 − 𝑥 ) )
58 1 13 24 20 21 22 23 25 26 28 40 41 57 trgcgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ⟨“ 𝐴 𝐵 𝑋 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝐷 ”⟩ )
59 1 2 3 14 7 6 4 19 16 hlln ⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝐶 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) )
60 59 orcd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝐶 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝐵 ) ∨ 𝐶 = 𝐵 ) )
61 1 19 2 4 7 6 14 60 colrot1 ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ ( 𝐵 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑌 ) ∨ 𝐵 = 𝑌 ) )
62 61 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝐵 ( LineG ‘ 𝐺 ) 𝑌 ) ∨ 𝐵 = 𝑌 ) )
63 1 13 2 24 20 21 22 37 25 26 38 39 cgr3simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝑦 ) )
64 1 2 3 14 7 6 4 ishlg ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ( 𝐾 ‘ 𝐵 ) 𝐶 ↔ ( 𝑌 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) ∨ 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑌 ) ) ) ) )
65 16 64 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ≠ 𝐵 ∧ 𝐶 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) ∨ 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑌 ) ) ) )
66 65 simp3d ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) ∨ 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑌 ) ) )
67 66 orcomd ⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) ) )
68 67 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝑌 ) ∨ 𝑌 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐶 ) ) )
69 simpr3 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 )
70 1 2 3 38 29 26 20 ishlg ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ↔ ( 𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑦 ) ) ) ) )
71 69 70 mpbid ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑦 ≠ 𝐸 ∧ 𝐹 ≠ 𝐸 ∧ ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑦 ) ) ) )
72 71 simp3d ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑦 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝑦 ) ) )
73 18 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝑌 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )
74 1 13 2 42 20 22 37 27 26 26 38 29 68 72 63 73 tgcgrsub2 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐶 − 𝑌 ) = ( 𝑦 − 𝐹 ) )
75 1 13 2 20 22 27 26 29 73 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑌 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) )
76 1 13 24 20 22 37 27 26 38 29 63 74 75 trgcgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ⟨“ 𝐵 𝐶 𝑌 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐸 𝑦 𝐹 ”⟩ )
77 53 eqcomd ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝑥 ) )
78 1 13 2 24 20 21 22 37 25 26 38 39 cgr3simp3 ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝑦 − 𝑥 ) )
79 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 cgrane2 ⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶 )
80 79 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 )
81 1 19 2 20 22 37 27 24 26 38 13 21 29 25 62 76 77 78 80 tgfscgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑌 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝑥 ) )
82 1 13 2 20 27 21 29 25 81 tgcgrcomlr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝐴 − 𝑌 ) = ( 𝑥 − 𝐹 ) )
83 30 ad3antrrr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 )
84 1 19 2 20 21 22 23 24 25 26 13 27 28 29 36 58 82 73 83 tgfscgr ⊢ ( ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑃 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝑃 ) ∧ ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )
85 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 iscgra ⊢ ( 𝜑 → ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrA ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝐷 𝐸 𝐹 ”⟩ ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) ) )
86 11 85 mpbid ⊢ ( 𝜑 → ∃ 𝑥 ∈ 𝑃 ∃ 𝑦 ∈ 𝑃 ( ⟨“ 𝐴 𝐵 𝐶 ”⟩ ( cgrG ‘ 𝐺 ) ⟨“ 𝑥 𝐸 𝑦 ”⟩ ∧ 𝑥 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐷 ∧ 𝑦 ( 𝐾 ‘ 𝐸 ) 𝐹 ) )
87 84 86 r19.29vva ⊢ ( 𝜑 → ( 𝑋 − 𝑌 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )