Theorem tgcgrsub2

Description: Removing identical parts from the end of a line segment preserves congruence. In this version the order of points is not known. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Apr-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
	legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
	legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
	legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
	legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
	legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
	legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
	legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
	legtrd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
	tgcgrsub2.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
	tgcgrsub2.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
	tgcgrsub2.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
	tgcgrsub2.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∨ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) )
	tgcgrsub2.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) ) )
	tgcgrsub2.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) )
	tgcgrsub2.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )
Assertion	tgcgrsub2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		legval.p	⊢ 𝑃 = ( Base ‘ 𝐺 )
2		legval.d	⊢ − = ( dist ‘ 𝐺 )
3		legval.i	⊢ 𝐼 = ( Itv ‘ 𝐺 )
4		legval.l	⊢ ≤ = ( ≤G ‘ 𝐺 )
5		legval.g	⊢ ( 𝜑 → 𝐺 ∈ TarskiG )
6		legid.a	⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃 )
7		legid.b	⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃 )
8		legtrd.c	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃 )
9		legtrd.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
10		tgcgrsub2.d	⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑃 )
11		tgcgrsub2.e	⊢ ( 𝜑 → 𝐸 ∈ 𝑃 )
12		tgcgrsub2.f	⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑃 )
13		tgcgrsub2.1	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ∨ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) )
14		tgcgrsub2.2	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) ) )
15		tgcgrsub2.3	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) )
16		tgcgrsub2.4	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )
17	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
18	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
19	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
20	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 )
21	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
22	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
23	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
24		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) )
25	1 2 3 17 22 19 18 24	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝐶 𝐼 𝐴 ) )
26	14	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ∨ 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) ) )
27	1 2 3 4 17 22 19 18 24	btwnleg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐶 ) )
28	15	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) )
29	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )
30	27 28 29	3brtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐷 − 𝐸 ) ≤ ( 𝐷 − 𝐹 ) )
31	1 2 3 4 17 21 20 23 23 26 30	legbtwn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) )
32	1 2 3 17 23 21 20 31	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → 𝐸 ∈ ( 𝐹 𝐼 𝐷 ) )
33	1 2 3 5 6 8 9 12 16	tgcgrcomlr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) )
34	33	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) )
35	1 2 3 5 6 7 9 11 15	tgcgrcomlr	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
36	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
37	1 2 3 17 18 19 22 20 21 23 25 32 34 36	tgcgrsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐶 − 𝐵 ) = ( 𝐹 − 𝐸 ) )
38	1 2 3 17 18 19 20 21 37	tgcgrcomlr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐵 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐶 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )
39	5	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐺 ∈ TarskiG )
40	7	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐵 ∈ 𝑃 )
41	8	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ 𝑃 )
42	6	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐴 ∈ 𝑃 )
43	11	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐸 ∈ 𝑃 )
44	12	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐹 ∈ 𝑃 )
45	9	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐷 ∈ 𝑃 )
46		simpr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) )
47	1 2 3 39 42 41 40 46	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝐵 𝐼 𝐴 ) )
48	14	orcomd	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) ∨ 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) )
49	48	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) ∨ 𝐸 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐹 ) ) )
50	1 2 3 4 39 42 41 40 46	btwnleg	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) ≤ ( 𝐴 − 𝐵 ) )
51	16	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 𝐶 ) = ( 𝐷 − 𝐹 ) )
52	15	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐴 − 𝐵 ) = ( 𝐷 − 𝐸 ) )
53	50 51 52	3brtr3d	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐷 − 𝐹 ) ≤ ( 𝐷 − 𝐸 ) )
54	1 2 3 4 39 44 43 45 45 49 53	legbtwn	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝐷 𝐼 𝐸 ) )
55	1 2 3 39 45 44 43 54	tgbtwncom	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → 𝐹 ∈ ( 𝐸 𝐼 𝐷 ) )
56	35	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 𝐴 ) = ( 𝐸 − 𝐷 ) )
57	33	adantr	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐶 − 𝐴 ) = ( 𝐹 − 𝐷 ) )
58	1 2 3 39 40 41 42 43 44 45 47 55 56 57	tgcgrsub	⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝐶 ∈ ( 𝐴 𝐼 𝐵 ) ) → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )
59	38 58 13	mpjaodan	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) = ( 𝐸 − 𝐹 ) )