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Theorem conncompcld

Description: The connected component containing A is a closed set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015)

Ref Expression
Hypothesis conncomp.2 ⊢ 𝑆 = ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) }
Assertion conncompcld ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 conncomp.2 ⊢ 𝑆 = ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) }
2 topontop ⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top )
3 ssrab2 ⊢ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ⊆ 𝒫 𝑋
4 sspwuni ⊢ ( { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ⊆ 𝒫 𝑋 ↔ ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ⊆ 𝑋 )
5 3 4 mpbi ⊢ ∪ { 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ( 𝐴 ∈ 𝑥 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑥 ) ∈ Conn ) } ⊆ 𝑋
6 1 5 eqsstri ⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋
7 toponuni ⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 )
8 7 adantr ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 )
9 6 8 sseqtrid ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 )
10 eqid ⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽
11 10 clsss3 ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ ∪ 𝐽 )
12 2 9 11 syl2an2r ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ ∪ 𝐽 )
13 12 8 sseqtrrd ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑋 )
14 10 sscls ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) → 𝑆 ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) )
15 2 9 14 syl2an2r ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) )
16 1 conncompid ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ 𝑆 )
17 15 16 sseldd ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝐴 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) )
18 simpl ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) )
19 6 a1i ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ⊆ 𝑋 )
20 1 conncompconn ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Conn )
21 clsconn ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝑆 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∈ Conn )
22 18 19 20 21 syl3anc ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∈ Conn )
23 1 conncompss ⊢ ( ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ∧ ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ) ∈ Conn ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑆 )
24 13 17 22 23 syl3anc ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑆 )
25 10 iscld4 ⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ↔ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑆 ) )
26 2 9 25 syl2an2r ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → ( 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) ↔ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝑆 ) ⊆ 𝑆 ) )
27 24 26 mpbird ⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ) → 𝑆 ∈ ( Clsd ‘ 𝐽 ) )