Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) → ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) |
2 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
3 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
4 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐽 ) |
5 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐽 ) |
6 |
|
simprl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ) |
7 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
8 |
6 7
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
9 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
10 |
|
topontop |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝐽 ∈ Top ) |
11 |
9 10
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
12 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
13 |
|
toponuni |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
14 |
9 13
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
15 |
12 14
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
16 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
17 |
16
|
elin2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
18 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑥 ∈ 𝐽 ) |
19 |
16
|
elin1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑥 ) |
20 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽 |
21 |
20
|
clsndisj |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥 ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
22 |
11 15 17 18 19 21
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
23 |
8 22
|
exlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
24 |
|
simprl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ) |
25 |
|
n0 |
⊢ ( ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
26 |
24 25
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ∃ 𝑧 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
27 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
28 |
27 10
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
29 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ 𝑋 ) |
30 |
27 13
|
syl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
31 |
29 30
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
33 |
32
|
elin2d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
34 |
5
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑦 ∈ 𝐽 ) |
35 |
32
|
elin1d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → 𝑧 ∈ 𝑦 ) |
36 |
20
|
clsndisj |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐽 ∧ 𝑧 ∈ 𝑦 ) ) → ( 𝑦 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
37 |
28 31 33 34 35 36
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ( 𝑦 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
38 |
26 37
|
exlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑦 ∩ 𝐴 ) ≠ ∅ ) |
39 |
|
simprl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) |
40 |
2 10
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐽 ∈ Top ) |
41 |
2 13
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
42 |
3 41
|
sseqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
43 |
20
|
sscls |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) → 𝐴 ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
44 |
40 42 43
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) |
45 |
44
|
sscond |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝐴 ) ) |
46 |
39 45
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ 𝐴 ) ) |
47 |
|
ssv |
⊢ 𝑋 ⊆ V |
48 |
|
ssdif |
⊢ ( 𝑋 ⊆ V → ( 𝑋 ∖ 𝐴 ) ⊆ ( V ∖ 𝐴 ) ) |
49 |
47 48
|
ax-mp |
⊢ ( 𝑋 ∖ 𝐴 ) ⊆ ( V ∖ 𝐴 ) |
50 |
46 49
|
sstrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( V ∖ 𝐴 ) ) |
51 |
|
disj2 |
⊢ ( ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝐴 ) = ∅ ↔ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( V ∖ 𝐴 ) ) |
52 |
50 51
|
sylibr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ∩ 𝐴 ) = ∅ ) |
53 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) |
54 |
44 53
|
sstrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → 𝐴 ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) |
55 |
2 3 4 5 23 38 52 54
|
nconnsubb |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) → ¬ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) |
56 |
55
|
expr |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) → ( ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) → ¬ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ) |
57 |
1 56
|
mt2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) ) → ¬ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) |
58 |
57
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) |
59 |
58
|
ralrimivva |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) → ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) |
60 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) → 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ) |
61 |
13
|
sseq2d |
⊢ ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) → ( 𝐴 ⊆ 𝑋 ↔ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) ) |
62 |
61
|
biimpa |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) |
63 |
20
|
clsss3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ ∪ 𝐽 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
64 |
10 62 63
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ∪ 𝐽 ) |
65 |
13
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → 𝑋 = ∪ 𝐽 ) |
66 |
64 65
|
sseqtrrd |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) |
67 |
66
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) → ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) |
68 |
|
connsub |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ 𝑋 ) → ( ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ) |
69 |
60 67 68
|
syl2anc |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) → ( ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∈ Conn ↔ ∀ 𝑥 ∈ 𝐽 ∀ 𝑦 ∈ 𝐽 ( ( ( 𝑥 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑦 ∩ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ≠ ∅ ∧ ( 𝑥 ∩ 𝑦 ) ⊆ ( 𝑋 ∖ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ) → ¬ ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ⊆ ( 𝑥 ∪ 𝑦 ) ) ) ) |
70 |
59 69
|
mpbird |
⊢ ( ( 𝐽 ∈ ( TopOn ‘ 𝑋 ) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋 ∧ ( 𝐽 ↾t 𝐴 ) ∈ Conn ) → ( 𝐽 ↾t ( ( cls ‘ 𝐽 ) ‘ 𝐴 ) ) ∈ Conn ) |