Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihmeetALT.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
dihmeetALT.m |
⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
dihmeetALT.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
dihmeetALT.i |
⊢ 𝐼 = ( ( DIsoH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
simpl1l |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
5
|
hllatd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
7 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
9 |
1 2
|
latmcom |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) |
10 |
6 7 8 9
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) = ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) |
11 |
10
|
fveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( 𝐼 ‘ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) ) |
12 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
13 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
15 |
1 14 2 3 4
|
dihmeetbN |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ) ) |
16 |
12 8 7 13 15
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ) ) |
17 |
|
incom |
⊢ ( ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) |
18 |
16 17
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑌 ∧ 𝑋 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
19 |
11 18
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
20 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
21 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
22 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
23 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
24 |
1 14 2 3 4
|
dihmeetbN |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
25 |
20 21 22 23 24
|
syl112anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
26 |
25
|
adantlr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
27 |
|
simp1l1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
28 |
|
simp1l2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
29 |
|
simp1r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
30 |
|
simp1l3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
31 |
|
simp3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
32 |
30 31
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) |
33 |
|
simp2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
34 |
|
eqid |
⊢ ( join ‘ 𝐾 ) = ( join ‘ 𝐾 ) |
35 |
|
eqid |
⊢ ( Atoms ‘ 𝐾 ) = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
36 |
|
eqid |
⊢ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
37 |
|
eqid |
⊢ ( LSSum ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) = ( LSSum ‘ ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ) |
38 |
1 14 3 34 2 35 36 37 4
|
dihmeetlem20N |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( ( 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
39 |
27 28 29 32 33 38
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
40 |
39
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ 𝑌 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
41 |
26 40
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
42 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
43 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑋 ∈ 𝐵 ) |
44 |
|
simpll3 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → 𝑌 ∈ 𝐵 ) |
45 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) |
46 |
1 14 2 3 4
|
dihmeetcN |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
47 |
42 43 44 45 46
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) ∧ ¬ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
48 |
41 47
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) ∧ ¬ 𝑋 ( le ‘ 𝐾 ) 𝑊 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |
49 |
19 48
|
pm2.61dan |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ) → ( 𝐼 ‘ ( 𝑋 ∧ 𝑌 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 𝑋 ) ∩ ( 𝐼 ‘ 𝑌 ) ) ) |