Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frgr3v.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
frgr3v.e |
⊢ 𝐸 = ( Edg ‘ 𝐺 ) |
3 |
|
df-reu |
⊢ ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
4 |
|
eleq1w |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ↔ 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ) ) |
5 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝑦 , 𝐴 } ) |
6 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝑦 , 𝐵 } ) |
7 |
5 6
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ) |
8 |
7
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
9 |
4 8
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ↔ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) ) |
10 |
9
|
eu4 |
⊢ ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ) |
11 |
1 2
|
frgr3vlem1 |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
12 |
11
|
3expa |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) |
13 |
12
|
biantrud |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ↔ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ) ) |
14 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
15 |
14
|
eltp |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ↔ ( 𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝐶 ) ) |
16 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝐴 , 𝐴 } ) |
17 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝐴 , 𝐵 } ) |
18 |
16 17
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ) |
19 |
18
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
20 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ V |
21 |
|
prex |
⊢ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ V |
22 |
20 21
|
prss |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ↔ { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
23 |
2
|
usgredgne |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → 𝐴 ≠ 𝐴 ) |
24 |
23
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → 𝐴 ≠ 𝐴 ) |
25 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 𝐴 ) |
26 |
|
eqid |
⊢ 𝐴 = 𝐴 |
27 |
26
|
pm2.24i |
⊢ ( ¬ 𝐴 = 𝐴 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
28 |
25 27
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ≠ 𝐴 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
29 |
24 28
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
30 |
29
|
ex |
⊢ ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
31 |
30
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
32 |
31
|
com12 |
⊢ ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
33 |
32
|
adantr |
⊢ ( ( { 𝐴 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐴 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
34 |
22 33
|
sylbir |
⊢ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
35 |
19 34
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑥 = 𝐴 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
36 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝐵 , 𝐴 } ) |
37 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝐵 , 𝐵 } ) |
38 |
36 37
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ) |
39 |
38
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
40 |
|
prex |
⊢ { 𝐵 , 𝐴 } ∈ V |
41 |
|
prex |
⊢ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ V |
42 |
40 41
|
prss |
⊢ ( ( { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ↔ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
43 |
2
|
usgredgne |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ USGraph ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → 𝐵 ≠ 𝐵 ) |
44 |
43
|
adantll |
⊢ ( ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → 𝐵 ≠ 𝐵 ) |
45 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 = 𝐵 ) |
46 |
|
eqid |
⊢ 𝐵 = 𝐵 |
47 |
46
|
pm2.24i |
⊢ ( ¬ 𝐵 = 𝐵 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
48 |
45 47
|
sylbi |
⊢ ( 𝐵 ≠ 𝐵 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
49 |
44 48
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) |
50 |
49
|
ex |
⊢ ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
51 |
50
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
52 |
51
|
com12 |
⊢ ( { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
53 |
52
|
adantl |
⊢ ( ( { 𝐵 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐵 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
54 |
42 53
|
sylbir |
⊢ ( { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
55 |
39 54
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑥 = 𝐵 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
56 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → { 𝑥 , 𝐴 } = { 𝐶 , 𝐴 } ) |
57 |
|
preq1 |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → { 𝑥 , 𝐵 } = { 𝐶 , 𝐵 } ) |
58 |
56 57
|
preq12d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } = { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ) |
59 |
58
|
sseq1d |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
60 |
|
prex |
⊢ { 𝐶 , 𝐴 } ∈ V |
61 |
|
prex |
⊢ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ V |
62 |
60 61
|
prss |
⊢ ( ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ↔ { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
63 |
|
ax-1 |
⊢ ( ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
64 |
62 63
|
sylbir |
⊢ ( { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
65 |
59 64
|
syl6bi |
⊢ ( 𝑥 = 𝐶 → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
66 |
35 55 65
|
3jaoi |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝐴 ∨ 𝑥 = 𝐵 ∨ 𝑥 = 𝐶 ) → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
67 |
15 66
|
sylbi |
⊢ ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } → ( { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |
68 |
67
|
imp |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) → ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
69 |
68
|
com12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
70 |
69
|
exlimdv |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) → ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
71 |
|
prssi |
⊢ ( ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
72 |
71
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) → { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
73 |
72
|
3mix3d |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) → ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
74 |
19 39 59
|
rextpg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) ) |
75 |
74
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) → ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ( { { 𝐴 , 𝐴 } , { 𝐴 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐵 , 𝐴 } , { 𝐵 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ∨ { { 𝐶 , 𝐴 } , { 𝐶 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) ) |
76 |
73 75
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) → ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) |
77 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
78 |
76 77
|
sylib |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) ∧ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) |
79 |
78
|
ex |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) → ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) ) |
80 |
70 79
|
impbid |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ↔ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
81 |
13 80
|
bitr3d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑥 ∀ 𝑦 ( ( ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ∧ ( 𝑦 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑦 , 𝐴 } , { 𝑦 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ) → 𝑥 = 𝑦 ) ) ↔ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
82 |
10 81
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syl5bb |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ∃! 𝑥 ( 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ) ↔ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
83 |
3 82
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syl5bb |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) ∧ ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) ) → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) |
84 |
83
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ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐶 ∈ 𝑍 ) ∧ ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ) → ( ( 𝑉 = { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } ∧ 𝐺 ∈ USGraph ) → ( ∃! 𝑥 ∈ { 𝐴 , 𝐵 , 𝐶 } { { 𝑥 , 𝐴 } , { 𝑥 , 𝐵 } } ⊆ 𝐸 ↔ ( { 𝐶 , 𝐴 } ∈ 𝐸 ∧ { 𝐶 , 𝐵 } ∈ 𝐸 ) ) ) ) |