Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
frlmgsum.y |
⊢ 𝑌 = ( 𝑅 freeLMod 𝐼 ) |
2 |
|
frlmgsum.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑌 ) |
3 |
|
frlmgsum.z |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑌 ) |
4 |
|
frlmgsum.i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉 ) |
5 |
|
frlmgsum.j |
⊢ ( 𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊 ) |
6 |
|
frlmgsum.r |
⊢ ( 𝜑 → 𝑅 ∈ Ring ) |
7 |
|
frlmgsum.f |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ∈ 𝐵 ) |
8 |
|
frlmgsum.w |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) finSupp 0 ) |
9 |
1 2
|
frlmpws |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ) → 𝑌 = ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) ) |
10 |
6 4 9
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 = ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) ) |
11 |
10
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) = ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) |
15 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ V ) |
16 |
|
eqid |
⊢ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) |
17 |
1 2 16
|
frlmlss |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ) → 𝐵 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
18 |
6 4 17
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
19 |
12 16
|
lssss |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) → 𝐵 ⊆ ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
20 |
18 19
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ⊆ ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
21 |
7
|
fmpttd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) : 𝐽 ⟶ 𝐵 ) |
22 |
|
rlmlmod |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
23 |
6 22
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) = ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) |
25 |
24
|
pwslmod |
⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ) → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ LMod ) |
26 |
23 4 25
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ LMod ) |
27 |
|
eqid |
⊢ ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) |
28 |
27 16
|
lss0cl |
⊢ ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) → ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 ) |
29 |
26 18 28
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ∈ 𝐵 ) |
30 |
|
lmodcmn |
⊢ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ LMod → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ) |
31 |
23 30
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd ) |
32 |
|
cmnmnd |
⊢ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ CMnd → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd ) |
33 |
31 32
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd ) |
34 |
24
|
pwsmnd |
⊢ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ) → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ Mnd ) |
35 |
33 4 34
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ Mnd ) |
36 |
12 13 27
|
mndlrid |
⊢ ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) → ( ( ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) 𝑥 ) = 𝑥 ∧ ( 𝑥 ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) = 𝑥 ) ) |
37 |
35 36
|
sylan |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( Base ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) → ( ( ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) 𝑥 ) = 𝑥 ∧ ( 𝑥 ( +g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) = 𝑥 ) ) |
38 |
12 13 14 15 5 20 21 29 37
|
gsumress |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |
39 |
|
rlmbas |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) |
40 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 ) |
41 |
1 40 2
|
frlmbasf |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
42 |
4 7 41
|
syl2an2r |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) : 𝐼 ⟶ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
43 |
42
|
fvmptelrn |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
44 |
43
|
an32s |
⊢ ( ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼 ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
45 |
44
|
anasss |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽 ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝑅 ) ) |
46 |
10
|
fveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑌 ) = ( 0g ‘ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) ) ) |
47 |
16
|
lsssubg |
⊢ ( ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ ( LSubSp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( SubGrp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
48 |
26 18 47
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ( SubGrp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
49 |
14 27
|
subg0 |
⊢ ( 𝐵 ∈ ( SubGrp ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) → ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( 0g ‘ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) ) ) |
50 |
48 49
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) = ( 0g ‘ ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ↾s 𝐵 ) ) ) |
51 |
46 50
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0g ‘ 𝑌 ) = ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
52 |
3 51
|
syl5eq |
⊢ ( 𝜑 → 0 = ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
53 |
8 52
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) finSupp ( 0g ‘ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) ) ) |
54 |
24 39 27 4 5 31 45 53
|
pwsgsum |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |
55 |
5
|
mptexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ∈ V ) |
56 |
|
fvexd |
⊢ ( 𝜑 → ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ∈ V ) |
57 |
39
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ) |
58 |
|
rlmplusg |
⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) |
59 |
58
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ) ) |
60 |
55 6 56 57 59
|
gsumpropd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) = ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) |
61 |
60
|
mpteq2dv |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |
62 |
54 61
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ringLMod ‘ 𝑅 ) ↑s 𝐼 ) Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |
63 |
11 38 62
|
3eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈 ) ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ( 𝑅 Σg ( 𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈 ) ) ) ) |