Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
icoopn.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
icoopn.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
3 |
|
icoopn.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
4 |
|
icoopn.k |
⊢ 𝐾 = ( topGen ‘ ran (,) ) |
5 |
|
icoopn.j |
⊢ 𝐽 = ( 𝐾 ↾t ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
6 |
|
icoopn.cleb |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵 ) |
7 |
|
retop |
⊢ ( topGen ‘ ran (,) ) ∈ Top |
8 |
4 7
|
eqeltri |
⊢ 𝐾 ∈ Top |
9 |
8
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → 𝐾 ∈ Top ) |
10 |
|
ovexd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∈ V ) |
11 |
|
iooretop |
⊢ ( -∞ (,) 𝐶 ) ∈ ( topGen ‘ ran (,) ) |
12 |
11 4
|
eleqtrri |
⊢ ( -∞ (,) 𝐶 ) ∈ 𝐾 |
13 |
12
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( -∞ (,) 𝐶 ) ∈ 𝐾 ) |
14 |
|
elrestr |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ∈ V ∧ ( -∞ (,) 𝐶 ) ∈ 𝐾 ) → ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ∈ ( 𝐾 ↾t ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
15 |
9 10 13 14
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ∈ ( 𝐾 ↾t ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
16 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
18 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
19 |
|
elinel1 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝐶 ) ) |
20 |
|
elioore |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝐶 ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
21 |
19 20
|
syl |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
22 |
21
|
rexrd |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
23 |
22
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
24 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
25 |
|
elinel2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
26 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
27 |
|
icogelb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 ) |
28 |
17 24 26 27
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 ) |
29 |
|
mnfxr |
⊢ -∞ ∈ ℝ* |
30 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
31 |
19
|
adantl |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝐶 ) ) |
32 |
|
iooltub |
⊢ ( ( -∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝐶 ) ) → 𝑥 < 𝐶 ) |
33 |
30 18 31 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝑥 < 𝐶 ) |
34 |
17 18 23 28 33
|
elicod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) |
35 |
29
|
a1i |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → -∞ ∈ ℝ* ) |
36 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐶 ∈ ℝ* ) |
37 |
|
icossre |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ) → ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ⊆ ℝ ) |
38 |
1 2 37
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ⊆ ℝ ) |
39 |
38
|
sselda |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ ) |
40 |
39
|
mnfltd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → -∞ < 𝑥 ) |
41 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
42 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) |
43 |
|
icoltub |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 < 𝐶 ) |
44 |
41 36 42 43
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 < 𝐶 ) |
45 |
35 36 39 40 44
|
eliood |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( -∞ (,) 𝐶 ) ) |
46 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐵 ∈ ℝ* ) |
47 |
39
|
rexrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ℝ* ) |
48 |
|
icogelb |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 ) |
49 |
41 36 42 48
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐴 ≤ 𝑥 ) |
50 |
6
|
adantr |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝐶 ≤ 𝐵 ) |
51 |
47 36 46 44 50
|
xrltletrd |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 < 𝐵 ) |
52 |
41 46 47 49 51
|
elicod |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) |
53 |
45 52
|
elind |
⊢ ( ( 𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) → 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ) |
54 |
34 53
|
impbida |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑥 ∈ ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) ↔ 𝑥 ∈ ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) ) |
55 |
54
|
eqrdv |
⊢ ( 𝜑 → ( ( -∞ (,) 𝐶 ) ∩ ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) = ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ) |
56 |
5
|
eqcomi |
⊢ ( 𝐾 ↾t ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) = 𝐽 |
57 |
56
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ↾t ( 𝐴 [,) 𝐵 ) ) = 𝐽 ) |
58 |
15 55 57
|
3eltr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 [,) 𝐶 ) ∈ 𝐽 ) |