Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
iprodmul.1 |
โข ๐ = ( โคโฅ โ ๐ ) |
2 |
|
iprodmul.2 |
โข ( ๐ โ ๐ โ โค ) |
3 |
|
iprodmul.3 |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ฆ ( ๐ฆ โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ๐น ) โ ๐ฆ ) ) |
4 |
|
iprodmul.4 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐น โ ๐ ) = ๐ด ) |
5 |
|
iprodmul.5 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ด โ โ ) |
6 |
|
iprodmul.6 |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ง ( ๐ง โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ๐บ ) โ ๐ง ) ) |
7 |
|
iprodmul.7 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) = ๐ต ) |
8 |
|
iprodmul.8 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ต โ โ ) |
9 |
4 5
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ โ ) |
10 |
7 8
|
eqeltrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ โ ) |
11 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐น โ ๐ ) = ( ๐น โ ๐ ) ) |
12 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ๐บ โ ๐ ) ) |
13 |
11 12
|
oveq12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
14 |
|
eqid |
โข ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
15 |
|
ovex |
โข ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ V |
16 |
13 14 15
|
fvmpt |
โข ( ๐ โ ๐ โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
17 |
16
|
adantl |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
18 |
1 3 9 6 10 17
|
ntrivcvgmul |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) ) |
19 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐น โ ๐ ) = ( ๐น โ ๐ ) ) |
20 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ๐บ โ ๐ ) ) |
21 |
19 20
|
oveq12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
22 |
21
|
cbvmptv |
โข ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
23 |
|
seqeq3 |
โข ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) ) |
24 |
22 23
|
ax-mp |
โข seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) = seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) |
25 |
24
|
breq1i |
โข ( seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค โ seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) |
26 |
25
|
anbi2i |
โข ( ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) โ ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) ) |
27 |
26
|
exbii |
โข ( โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) โ โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) ) |
28 |
27
|
rexbii |
โข ( โ ๐ โ ๐ โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) ) |
29 |
18 28
|
sylibr |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ โ ๐ค ( ๐ค โ 0 โง seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ค ) ) |
30 |
|
eqid |
โข ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) = ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
31 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐น โ ๐ ) = ( ๐น โ ๐ ) ) |
32 |
|
fveq2 |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ๐บ โ ๐ ) = ( ๐บ โ ๐ ) ) |
33 |
31 32
|
oveq12d |
โข ( ๐ = ๐ โ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
34 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
35 |
9 10
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) โ โ ) |
36 |
30 33 34 35
|
fvmptd3 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
37 |
4 7
|
oveq12d |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) = ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
38 |
36 37
|
eqtrd |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ๐ด ยท ๐ต ) ) |
39 |
5 8
|
mulcld |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( ๐ด ยท ๐ต ) โ โ ) |
40 |
1 2 3 4 5
|
iprodclim2 |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ๐น ) โ โ ๐ โ ๐ ๐ด ) |
41 |
|
seqex |
โข seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ V |
42 |
41
|
a1i |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ V ) |
43 |
1 2 6 7 8
|
iprodclim2 |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ๐บ ) โ โ ๐ โ ๐ ๐ต ) |
44 |
1 2 9
|
prodf |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ๐น ) : ๐ โถ โ ) |
45 |
44
|
ffvelcdmda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( seq ๐ ( ยท , ๐น ) โ ๐ ) โ โ ) |
46 |
1 2 10
|
prodf |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ๐บ ) : ๐ โถ โ ) |
47 |
46
|
ffvelcdmda |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( seq ๐ ( ยท , ๐บ ) โ ๐ ) โ โ ) |
48 |
|
simpr |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
49 |
48 1
|
eleqtrdi |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ๐ โ ( โคโฅ โ ๐ ) ) |
50 |
|
elfzuz |
โข ( ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) โ ๐ โ ( โคโฅ โ ๐ ) ) |
51 |
50 1
|
eleqtrrdi |
โข ( ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) โ ๐ โ ๐ ) |
52 |
51 9
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ โ ) |
53 |
52
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ( ๐น โ ๐ ) โ โ ) |
54 |
51 10
|
sylan2 |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ โ ) |
55 |
54
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ( ๐บ โ ๐ ) โ โ ) |
56 |
36
|
adantlr |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ๐ ) โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
57 |
51 56
|
sylan2 |
โข ( ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โง ๐ โ ( ๐ ... ๐ ) ) โ ( ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) โ ๐ ) = ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) |
58 |
49 53 55 57
|
prodfmul |
โข ( ( ๐ โง ๐ โ ๐ ) โ ( seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ๐ ) = ( ( seq ๐ ( ยท , ๐น ) โ ๐ ) ยท ( seq ๐ ( ยท , ๐บ ) โ ๐ ) ) ) |
59 |
1 2 40 42 43 45 47 58
|
climmul |
โข ( ๐ โ seq ๐ ( ยท , ( ๐ โ ๐ โฆ ( ( ๐น โ ๐ ) ยท ( ๐บ โ ๐ ) ) ) ) โ ( โ ๐ โ ๐ ๐ด ยท โ ๐ โ ๐ ๐ต ) ) |
60 |
1 2 29 38 39 59
|
iprodclim |
โข ( ๐ โ โ ๐ โ ๐ ( ๐ด ยท ๐ต ) = ( โ ๐ โ ๐ ๐ด ยท โ ๐ โ ๐ ๐ต ) ) |