Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elznn0 |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℤ ↔ ( 𝐼 ∈ ℝ ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∨ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) ) ) |
2 |
|
jm2.19lem3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) |
3 |
2
|
3expia |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐼 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
4 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) → ( 𝐼 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
5 |
|
simplll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
6 |
|
simprl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
7 |
6
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℤ ) |
8 |
|
simprr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
9 |
8
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
10 |
|
nn0z |
⊢ ( - 𝐼 ∈ ℕ0 → - 𝐼 ∈ ℤ ) |
11 |
10
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → - 𝐼 ∈ ℤ ) |
12 |
|
simplr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝐼 ∈ ℝ ) |
13 |
12
|
recnd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝐼 ∈ ℂ ) |
14 |
|
znegclb |
⊢ ( 𝐼 ∈ ℂ → ( 𝐼 ∈ ℤ ↔ - 𝐼 ∈ ℤ ) ) |
15 |
13 14
|
syl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐼 ∈ ℤ ↔ - 𝐼 ∈ ℤ ) ) |
16 |
11 15
|
mpbird |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝐼 ∈ ℤ ) |
17 |
16 7
|
zmulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐼 · 𝑀 ) ∈ ℤ ) |
18 |
9 17
|
zaddcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) |
19 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → - 𝐼 ∈ ℕ0 ) |
20 |
|
jm2.19lem3 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ∈ ℤ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) |
21 |
5 7 18 19 20
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) |
22 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
ad2antrl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
24 |
23
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝑀 ∈ ℂ ) |
25 |
13 24
|
mulneg1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( - 𝐼 · 𝑀 ) = - ( 𝐼 · 𝑀 ) ) |
26 |
25
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + - ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) |
27 |
|
zcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ ) |
28 |
27
|
ad2antll |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
29 |
28
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
30 |
13 24
|
mulcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐼 · 𝑀 ) ∈ ℂ ) |
31 |
29 30
|
addcld |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ∈ ℂ ) |
32 |
31 30
|
negsubd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + - ( 𝐼 · 𝑀 ) ) = ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) − ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) |
33 |
29 30
|
pncand |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) − ( 𝐼 · 𝑀 ) ) = 𝑁 ) |
34 |
26 32 33
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) = 𝑁 ) |
35 |
34
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( 𝐴 Yrm ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) ) = ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) |
36 |
35
|
breq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) + ( - 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ) ) |
37 |
21 36
|
bitr2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) ∧ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) |
38 |
37
|
ex |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) → ( - 𝐼 ∈ ℕ0 → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
39 |
4 38
|
jaod |
⊢ ( ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) ∧ 𝐼 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∨ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
40 |
39
|
expimpd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( ( 𝐼 ∈ ℝ ∧ ( 𝐼 ∈ ℕ0 ∨ - 𝐼 ∈ ℕ0 ) ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
41 |
1 40
|
syl5bi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) → ( 𝐼 ∈ ℤ → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) ) |
42 |
41
|
3impia |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ∧ ( 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ∧ 𝐼 ∈ ℤ ) → ( ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm 𝑁 ) ↔ ( 𝐴 Yrm 𝑀 ) ∥ ( 𝐴 Yrm ( 𝑁 + ( 𝐼 · 𝑀 ) ) ) ) ) |