Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
konigsberg.v |
⊢ 𝑉 = ( 0 ... 3 ) |
2 |
|
konigsberg.e |
⊢ 𝐸 = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 |
3 |
|
konigsberg.g |
⊢ 𝐺 = 〈 𝑉 , 𝐸 〉 |
4 |
|
ovex |
⊢ ( 0 ... 3 ) ∈ V |
5 |
|
s6cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
6 |
5
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ V |
7 |
4 6
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
8 |
7
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) |
9 |
|
3nn0 |
⊢ 3 ∈ ℕ0 |
10 |
|
0elfz |
⊢ ( 3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ( 0 ... 3 ) ) |
11 |
9 10
|
ax-mp |
⊢ 0 ∈ ( 0 ... 3 ) |
12 |
4 6
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 |
13 |
12
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) |
14 |
|
s1cli |
⊢ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
15 |
|
df-s7 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ) |
16 |
|
eqid |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 ) |
17 |
|
eqid |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 |
18 |
|
eqid |
⊢ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 〉 = 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 〉 |
19 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
20 |
5 14 15 19
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
21 |
|
s5cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word V |
22 |
21
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ V |
23 |
4 22
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
24 |
23
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) |
25 |
4 22
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 |
26 |
25
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) |
27 |
|
s2cli |
⊢ 〈“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
28 |
|
s5s2 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) |
29 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
30 |
21 27 28 29
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
31 |
|
s4cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word V |
32 |
31
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ V |
33 |
4 32
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
34 |
33
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) |
35 |
4 32
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 |
36 |
35
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) |
37 |
|
s3cli |
⊢ 〈“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
38 |
|
s4s3 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) |
39 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
40 |
31 37 38 39
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
41 |
|
s3cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
42 |
41
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ∈ V |
43 |
4 42
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
44 |
43
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) |
45 |
4 42
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 |
46 |
45
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) |
47 |
|
s4cli |
⊢ 〈“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
48 |
|
s3s4 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) |
49 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
50 |
41 47 48 49
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
51 |
|
s2cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ∈ Word V |
52 |
51
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ∈ V |
53 |
4 52
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
54 |
53
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) |
55 |
4 52
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 |
56 |
55
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) |
57 |
|
s5cli |
⊢ 〈“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
58 |
|
s2s5 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) |
59 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
60 |
51 57 58 59
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
61 |
|
s1cli |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ∈ Word V |
62 |
61
|
elexi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ∈ V |
63 |
4 62
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
64 |
63
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) |
65 |
4 62
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) = 〈“ { 0 , 1 } ”〉 |
66 |
65
|
eqcomi |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) |
67 |
|
s6cli |
⊢ 〈“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V |
68 |
|
s1s6 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) |
69 |
16 17 18
|
konigsbergssiedgw |
⊢ ( ( 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ∈ Word V ∧ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 ) ) → 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } ) |
70 |
61 67 68 69
|
mp3an |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
71 |
|
0ex |
⊢ ∅ ∈ V |
72 |
4 71
|
opvtxfvi |
⊢ ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) = ( 0 ... 3 ) |
73 |
72
|
eqcomi |
⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) |
74 |
4 71
|
opiedgfvi |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) = ∅ |
75 |
74
|
eqcomi |
⊢ ∅ = ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) |
76 |
|
wrd0 |
⊢ ∅ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } |
77 |
|
eqid |
⊢ ∅ = ∅ |
78 |
73 75
|
vtxdg0e |
⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ ∅ = ∅ ) → ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) ‘ 0 ) = 0 ) |
79 |
11 77 78
|
mp2an |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , ∅ 〉 ) ‘ 0 ) = 0 |
80 |
|
1nn0 |
⊢ 1 ∈ ℕ0 |
81 |
|
1le3 |
⊢ 1 ≤ 3 |
82 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( 1 ∈ ( 0 ... 3 ) ↔ ( 1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3 ) ) |
83 |
80 9 81 82
|
mpbir3an |
⊢ 1 ∈ ( 0 ... 3 ) |
84 |
|
ax-1ne0 |
⊢ 1 ≠ 0 |
85 |
|
s0s1 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 = ( ∅ ++ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ) |
86 |
65 85
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) = ( ∅ ++ 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ) |
87 |
73 11 75 76 79 63 83 84 86
|
vdegp1bi |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = ( 0 + 1 ) |
88 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
89 |
87 88
|
eqtri |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 1 |
90 |
|
2nn0 |
⊢ 2 ∈ ℕ0 |
91 |
|
2re |
⊢ 2 ∈ ℝ |
92 |
|
3re |
⊢ 3 ∈ ℝ |
93 |
|
2lt3 |
⊢ 2 < 3 |
94 |
91 92 93
|
ltleii |
⊢ 2 ≤ 3 |
95 |
|
elfz2nn0 |
⊢ ( 2 ∈ ( 0 ... 3 ) ↔ ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3 ) ) |
96 |
90 9 94 95
|
mpbir3an |
⊢ 2 ∈ ( 0 ... 3 ) |
97 |
|
2ne0 |
⊢ 2 ≠ 0 |
98 |
|
df-s2 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 2 } ”〉 ) |
99 |
55 98
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 2 } ”〉 ) |
100 |
64 11 66 70 89 53 96 97 99
|
vdegp1bi |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = ( 1 + 1 ) |
101 |
|
1p1e2 |
⊢ ( 1 + 1 ) = 2 |
102 |
100 101
|
eqtri |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 2 |
103 |
|
nn0fz0 |
⊢ ( 3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ( 0 ... 3 ) ) |
104 |
9 103
|
mpbi |
⊢ 3 ∈ ( 0 ... 3 ) |
105 |
|
3ne0 |
⊢ 3 ≠ 0 |
106 |
|
df-s3 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 3 } ”〉 ) |
107 |
45 106
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 0 , 3 } ”〉 ) |
108 |
54 11 56 60 102 43 104 105 107
|
vdegp1bi |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = ( 2 + 1 ) |
109 |
|
2p1e3 |
⊢ ( 2 + 1 ) = 3 |
110 |
108 109
|
eqtri |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 3 |
111 |
|
df-s4 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } ”〉 ) |
112 |
35 111
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } ”〉 ) |
113 |
44 11 46 50 110 33 83 84 96 97 112
|
vdegp1ai |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 3 |
114 |
|
df-s5 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } ”〉 ) |
115 |
25 114
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 1 , 2 } ”〉 ) |
116 |
34 11 36 40 113 23 83 84 96 97 115
|
vdegp1ai |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 3 |
117 |
|
df-s6 |
⊢ 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ) |
118 |
12 117
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ) |
119 |
24 11 26 30 116 7 96 97 104 105 118
|
vdegp1ai |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 〈 ( 0 ... 3 ) , 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 〉 ) ‘ 0 ) = 3 |
120 |
1 2 3
|
konigsbergvtx |
⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( 0 ... 3 ) |
121 |
1 2 3
|
konigsbergiedg |
⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”〉 |
122 |
121 15
|
eqtri |
⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ( 〈“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”〉 ++ 〈“ { 2 , 3 } ”〉 ) |
123 |
8 11 13 20 119 120 96 97 104 105 122
|
vdegp1ai |
⊢ ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 0 ) = 3 |