Theorem konigsberglem1

Description: Lemma 1 for konigsberg : Vertex 0 has degree three. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016) (Revised by AV, 4-Mar-2021)

	Ref	Expression
Hypotheses	konigsberg.v	⊢ 𝑉 = ( 0 ... 3 )
	konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩
	konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨ 𝑉 , 𝐸 ⟩
Assertion	konigsberglem1	⊢ ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 0 ) = 3

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		konigsberg.v	⊢ 𝑉 = ( 0 ... 3 )
2		konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩
3		konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨ 𝑉 , 𝐸 ⟩
4		ovex	⊢ ( 0 ... 3 ) ∈ V
5		s6cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
6	5	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ V
7	4 6	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
8	7	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ )
9		3nn0	⊢ 3 ∈ ℕ0
10		0elfz	⊢ ( 3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ( 0 ... 3 ) )
11	9 10	ax-mp	⊢ 0 ∈ ( 0 ... 3 )
12	4 6	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩
13	12	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ )
14		s1cli	⊢ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
15		df-s7	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ )
16		eqid	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( 0 ... 3 )
17		eqid	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩
18		eqid	⊢ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ = ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩
19	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
20	5 14 15 19	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
21		s5cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word V
22	21	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ V
23	4 22	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
24	23	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ )
25	4 22	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩
26	25	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ )
27		s2cli	⊢ ⟨“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
28		s5s2	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ )
29	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
30	21 27 28 29	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
31		s4cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word V
32	31	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ V
33	4 32	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
34	33	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ )
35	4 32	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩
36	35	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ )
37		s3cli	⊢ ⟨“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
38		s4s3	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ )
39	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
40	31 37 38 39	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
41		s3cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
42	41	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ∈ V
43	4 42	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
44	43	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ )
45	4 42	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩
46	45	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ )
47		s4cli	⊢ ⟨“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
48		s3s4	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ )
49	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
50	41 47 48 49	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
51		s2cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ∈ Word V
52	51	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ∈ V
53	4 52	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
54	53	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ )
55	4 52	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩
56	55	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ )
57		s5cli	⊢ ⟨“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
58		s2s5	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ )
59	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
60	51 57 58 59	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
61		s1cli	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ∈ Word V
62	61	elexi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ∈ V
63	4 62	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
64	63	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ )
65	4 62	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ ) = ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩
66	65	eqcomi	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ )
67		s6cli	⊢ ⟨“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V
68		s1s6	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ )
69	16 17 18	konigsbergssiedgw	⊢ ( ( ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ∈ Word V ∧ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩ ) ) → ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 } )
70	61 67 68 69	mp3an	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
71		0ex	⊢ ∅ ∈ V
72	4 71	opvtxfvi	⊢ ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ ) = ( 0 ... 3 )
73	72	eqcomi	⊢ ( 0 ... 3 ) = ( Vtx ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ )
74	4 71	opiedgfvi	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ ) = ∅
75	74	eqcomi	⊢ ∅ = ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ )
76		wrd0	⊢ ∅ ∈ Word { 𝑥 ∈ ( 𝒫 ( 0 ... 3 ) ∖ { ∅ } ) ∣ ( ♯ ‘ 𝑥 ) ≤ 2 }
77		eqid	⊢ ∅ = ∅
78	73 75	vtxdg0e	⊢ ( ( 0 ∈ ( 0 ... 3 ) ∧ ∅ = ∅ ) → ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ ) ‘ 0 ) = 0 )
79	11 77 78	mp2an	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ∅ ⟩ ) ‘ 0 ) = 0
80		1nn0	⊢ 1 ∈ ℕ0
81		1le3	⊢ 1 ≤ 3
82		elfz2nn0	⊢ ( 1 ∈ ( 0 ... 3 ) ↔ ( 1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3 ) )
83	80 9 81 82	mpbir3an	⊢ 1 ∈ ( 0 ... 3 )
84		ax-1ne0	⊢ 1 ≠ 0
85		s0s1	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ = ( ∅ ++ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ )
86	65 85	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ ) = ( ∅ ++ ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ )
87	73 11 75 76 79 63 83 84 86	vdegp1bi	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = ( 0 + 1 )
88		0p1e1	⊢ ( 0 + 1 ) = 1
89	87 88	eqtri	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 1
90		2nn0	⊢ 2 ∈ ℕ0
91		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
92		3re	⊢ 3 ∈ ℝ
93		2lt3	⊢ 2 < 3
94	91 92 93	ltleii	⊢ 2 ≤ 3
95		elfz2nn0	⊢ ( 2 ∈ ( 0 ... 3 ) ↔ ( 2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3 ) )
96	90 9 94 95	mpbir3an	⊢ 2 ∈ ( 0 ... 3 )
97		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
98		df-s2	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 2 } ”⟩ )
99	55 98	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 2 } ”⟩ )
100	64 11 66 70 89 53 96 97 99	vdegp1bi	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = ( 1 + 1 )
101		1p1e2	⊢ ( 1 + 1 ) = 2
102	100 101	eqtri	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 2
103		nn0fz0	⊢ ( 3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ ( 0 ... 3 ) )
104	9 103	mpbi	⊢ 3 ∈ ( 0 ... 3 )
105		3ne0	⊢ 3 ≠ 0
106		df-s3	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 3 } ”⟩ )
107	45 106	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 0 , 3 } ”⟩ )
108	54 11 56 60 102 43 104 105 107	vdegp1bi	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = ( 2 + 1 )
109		2p1e3	⊢ ( 2 + 1 ) = 3
110	108 109	eqtri	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 3
111		df-s4	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } ”⟩ )
112	35 111	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } ”⟩ )
113	44 11 46 50 110 33 83 84 96 97 112	vdegp1ai	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 3
114		df-s5	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } ”⟩ )
115	25 114	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 1 , 2 } ”⟩ )
116	34 11 36 40 113 23 83 84 96 97 115	vdegp1ai	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 3
117		df-s6	⊢ ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ )
118	12 117	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ )
119	24 11 26 30 116 7 96 97 104 105 118	vdegp1ai	⊢ ( ( VtxDeg ‘ ⟨ ( 0 ... 3 ) , ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ⟩ ) ‘ 0 ) = 3
120	1 2 3	konigsbergvtx	⊢ ( Vtx ‘ 𝐺 ) = ( 0 ... 3 )
121	1 2 3	konigsbergiedg	⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } { 2 , 3 } ”⟩
122	121 15	eqtri	⊢ ( iEdg ‘ 𝐺 ) = ( ⟨“ { 0 , 1 } { 0 , 2 } { 0 , 3 } { 1 , 2 } { 1 , 2 } { 2 , 3 } ”⟩ ++ ⟨“ { 2 , 3 } ”⟩ )
123	8 11 13 20 119 120 96 97 104 105 122	vdegp1ai	⊢ ( ( VtxDeg ‘ 𝐺 ) ‘ 0 ) = 3