Theorem lhp2at0

Description: Join and meet with different atoms under co-atom W . (Contributed by NM, 15-Jun-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	lhp2at0.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
	lhp2at0.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
	lhp2at0.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
	lhp2at0.z	⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 )
	lhp2at0.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
	lhp2at0.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
Assertion	lhp2at0	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑉 ) = 0 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lhp2at0.l	⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2		lhp2at0.j	⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3		lhp2at0.m	⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4		lhp2at0.z	⊢ 0 = ( 0. ‘ 𝐾 )
5		lhp2at0.a	⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
6		lhp2at0.h	⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
7		simp11l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
8		hlol	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL )
9	7 8	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ OL )
10		simp12l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
11		simp2l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐴 )
12		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
13	12 2 5	hlatjcl	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
14	7 10 11 13	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
15		simp11r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ 𝐻 )
16	12 6	lhpbase	⊢ ( 𝑊 ∈ 𝐻 → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17	15 16	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
18		simp3l	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐴 )
19	12 5	atbase	⊢ ( 𝑉 ∈ 𝐴 → 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20	18 19	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
21	12 3	latmassOLD	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) ∧ 𝑉 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) ) )
22	9 14 17 20 21	syl13anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) ∧ 𝑉 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) ) )
23	1 3 4 5 6	lhpmat	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) = 0 )
24	23	3adant3	⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) → ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) = 0 )
25	24	3ad2ant1	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) = 0 )
26	25	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑈 ) = ( 0 ∨ 𝑈 ) )
27	12 5	atbase	⊢ ( 𝑈 ∈ 𝐴 → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
28	11 27	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
29		simp2r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑈 ≤ 𝑊 )
30	12 1 2 3 5	atmod4i2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) → ( ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) )
31	7 10 28 17 29 30	syl131anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∧ 𝑊 ) ∨ 𝑈 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) )
32	12 2 4	olj02	⊢ ( ( 𝐾 ∈ OL ∧ 𝑈 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 0 ∨ 𝑈 ) = 𝑈 )
33	9 28 32	syl2anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 0 ∨ 𝑈 ) = 𝑈 )
34	26 31 33	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) = 𝑈 )
35	34	oveq1d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑊 ) ∧ 𝑉 ) = ( 𝑈 ∧ 𝑉 ) )
36	22 35	eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) ) = ( 𝑈 ∧ 𝑉 ) )
37		simp3r	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑉 ≤ 𝑊 )
38	7	hllatd	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
39	12 1 3	latleeqm2	⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑉 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑊 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) → ( 𝑉 ≤ 𝑊 ↔ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) = 𝑉 ) )
40	38 20 17 39	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑉 ≤ 𝑊 ↔ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) = 𝑉 ) )
41	37 40	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) = 𝑉 )
42	41	oveq2d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ ( 𝑊 ∧ 𝑉 ) ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑉 ) )
43		simp13	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝑈 ≠ 𝑉 )
44		hlatl	⊢ ( 𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat )
45	7 44	syl	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → 𝐾 ∈ AtLat )
46	3 4 5	atnem0	⊢ ( ( 𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑈 ≠ 𝑉 ↔ ( 𝑈 ∧ 𝑉 ) = 0 ) )
47	45 11 18 46	syl3anc	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ≠ 𝑉 ↔ ( 𝑈 ∧ 𝑉 ) = 0 ) )
48	43 47	mpbid	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( 𝑈 ∧ 𝑉 ) = 0 )
49	36 42 48	3eqtr3d	⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊 ) ∧ ( 𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊 ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑈 ) ∧ 𝑉 ) = 0 )