Theorem lnmlmic

Description: Noetherian is an invariant property of modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Jan-2015)

	Ref	Expression
Assertion	lnmlmic	⊢ ( 𝑅 ≃𝑚 𝑆 → ( 𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brlmic	⊢ ( 𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ≠ ∅ )
2		n0	⊢ ( ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑎 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) )
3	1 2	bitri	⊢ ( 𝑅 ≃𝑚 𝑆 ↔ ∃ 𝑎 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) )
4		lmimlmhm	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMHom 𝑆 ) )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ) → 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMHom 𝑆 ) )
6		simpr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ) → 𝑅 ∈ LNoeM )
7		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑅 ) = ( Base ‘ 𝑅 )
8		eqid	⊢ ( Base ‘ 𝑆 ) = ( Base ‘ 𝑆 )
9	7 8	lmimf1o	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → 𝑎 : ( Base ‘ 𝑅 ) –1-1-onto→ ( Base ‘ 𝑆 ) )
10		f1ofo	⊢ ( 𝑎 : ( Base ‘ 𝑅 ) –1-1-onto→ ( Base ‘ 𝑆 ) → 𝑎 : ( Base ‘ 𝑅 ) –onto→ ( Base ‘ 𝑆 ) )
11		forn	⊢ ( 𝑎 : ( Base ‘ 𝑅 ) –onto→ ( Base ‘ 𝑆 ) → ran 𝑎 = ( Base ‘ 𝑆 ) )
12	9 10 11	3syl	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → ran 𝑎 = ( Base ‘ 𝑆 ) )
13	12	adantr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ) → ran 𝑎 = ( Base ‘ 𝑆 ) )
14	8	lnmepi	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMHom 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ∧ ran 𝑎 = ( Base ‘ 𝑆 ) ) → 𝑆 ∈ LNoeM )
15	5 6 13 14	syl3anc	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑅 ∈ LNoeM ) → 𝑆 ∈ LNoeM )
16		islmim2	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ↔ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMHom 𝑆 ) ∧ ◡ 𝑎 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑅 ) ) )
17	16	simprbi	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → ◡ 𝑎 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑅 ) )
18	17	adantr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ) → ◡ 𝑎 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑅 ) )
19		simpr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ) → 𝑆 ∈ LNoeM )
20		dfdm4	⊢ dom 𝑎 = ran ◡ 𝑎
21		f1odm	⊢ ( 𝑎 : ( Base ‘ 𝑅 ) –1-1-onto→ ( Base ‘ 𝑆 ) → dom 𝑎 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
22	9 21	syl	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → dom 𝑎 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
23	22	adantr	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ) → dom 𝑎 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
24	20 23	eqtr3id	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ) → ran ◡ 𝑎 = ( Base ‘ 𝑅 ) )
25	7	lnmepi	⊢ ( ( ◡ 𝑎 ∈ ( 𝑆 LMHom 𝑅 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ∧ ran ◡ 𝑎 = ( Base ‘ 𝑅 ) ) → 𝑅 ∈ LNoeM )
26	18 19 24 25	syl3anc	⊢ ( ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) ∧ 𝑆 ∈ LNoeM ) → 𝑅 ∈ LNoeM )
27	15 26	impbida	⊢ ( 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → ( 𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM ) )
28	27	exlimiv	⊢ ( ∃ 𝑎 𝑎 ∈ ( 𝑅 LMIso 𝑆 ) → ( 𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM ) )
29	3 28	sylbi	⊢ ( 𝑅 ≃𝑚 𝑆 → ( 𝑅 ∈ LNoeM ↔ 𝑆 ∈ LNoeM ) )