Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lpadlen.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0 ) |
2 |
|
lpadlen.2 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆 ) |
3 |
|
lpadlen.3 |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆 ) |
4 |
|
lpadleft.1 |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
5 |
1 2 3
|
lpadval |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ) |
6 |
5
|
fveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) ) |
7 |
3
|
lpadlem1 |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ∈ Word 𝑆 ) |
8 |
|
lencl |
⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑆 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ) |
9 |
2 8
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ) |
10 |
|
elfzo0 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
11 |
4 10
|
sylib |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
12 |
11
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ ) |
13 |
12
|
nnnn0d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 ) |
14 |
|
nn0sub |
⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 ↔ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 ) ) |
15 |
14
|
biimpar |
⊢ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 ) |
16 |
9 1 13 15
|
syl21anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 ) |
17 |
1 2 3 16
|
lpadlem2 |
⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) = ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) |
18 |
17
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) = ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) |
19 |
4 18
|
eleqtrrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) ) |
20 |
|
ccatval1 |
⊢ ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) ) → ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) ) |
21 |
7 2 19 20
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) ) |
22 |
|
fvconst2g |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 ) |
23 |
3 4 22
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 ) |
24 |
6 21 23
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 ) |