Theorem lpadleft

Description: The contents of prefix of a left-padded word is always the letter C . (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Aug-2023)

	Ref	Expression
Hypotheses	lpadlen.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0 )
	lpadlen.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆 )
	lpadlen.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆 )
	lpadleft.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) )
Assertion	lpadleft	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lpadlen.1	⊢ ( 𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ0 )
2		lpadlen.2	⊢ ( 𝜑 → 𝑊 ∈ Word 𝑆 )
3		lpadlen.3	⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆 )
4		lpadleft.1	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) )
5	1 2 3	lpadval	⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) )
6	5	fveq1d	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) )
7	3	lpadlem1	⊢ ( 𝜑 → ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ∈ Word 𝑆 )
8		lencl	⊢ ( 𝑊 ∈ Word 𝑆 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 )
9	2 8	syl	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 )
10		elfzo0	⊢ ( 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ↔ ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) )
11	4 10	sylib	⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ ∧ 𝑁 < ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) )
12	11	simp2d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ )
13	12	nnnn0d	⊢ ( 𝜑 → ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 )
14		nn0sub	⊢ ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ) → ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 ↔ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 ) )
15	14	biimpar	⊢ ( ( ( ( ♯ ‘ 𝑊 ) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ) ∧ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ∈ ℕ0 ) → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 )
16	9 1 13 15	syl21anc	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ 𝑊 ) ≤ 𝐿 )
17	1 2 3 16	lpadlem2	⊢ ( 𝜑 → ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) = ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) )
18	17	oveq2d	⊢ ( 𝜑 → ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) = ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) )
19	4 18	eleqtrrd	⊢ ( 𝜑 → 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) )
20		ccatval1	⊢ ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( ♯ ‘ ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ) ) ) → ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) )
21	7 2 19 20	syl3anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ++ 𝑊 ) ‘ 𝑁 ) = ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) )
22		fvconst2g	⊢ ( ( 𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝑁 ∈ ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) ) → ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 )
23	3 4 22	syl2anc	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 0 ..^ ( 𝐿 − ( ♯ ‘ 𝑊 ) ) ) × { 𝐶 } ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 )
24	6 21 23	3eqtrd	⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐶 leftpad 𝑊 ) ‘ 𝐿 ) ‘ 𝑁 ) = 𝐶 )