Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltmod.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
ltmod.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
3 |
|
ltmod.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ) |
4 |
1 2
|
modcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
5 |
1 4
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
6 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
7 |
|
icossre |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
8 |
5 6 7
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
9 |
8 3
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
10 |
2
|
rpred |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ ) |
11 |
9 2
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
12 |
11
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℤ ) |
13 |
12
|
zred |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
10 13
|
remulcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ∈ ℝ ) |
15 |
5
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ) |
16 |
|
icoltub |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ) → 𝐶 < 𝐴 ) |
17 |
15 6 3 16
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 < 𝐴 ) |
18 |
9 1 14 17
|
ltsub1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) < ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
19 |
|
icossicc |
⊢ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,) 𝐴 ) ⊆ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) |
20 |
19 3
|
sseldi |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ) |
21 |
1 2 20
|
lefldiveq |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) |
22 |
21
|
eqcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) |
23 |
22
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) = ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) |
24 |
23
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
25 |
18 24
|
breqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) < ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
26 |
|
modval |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐶 mod 𝐵 ) = ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
27 |
9 2 26
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 mod 𝐵 ) = ( 𝐶 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
28 |
|
modval |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
29 |
1 2 28
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 mod 𝐵 ) = ( 𝐴 − ( 𝐵 · ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
30 |
25 27 29
|
3brtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 mod 𝐵 ) < ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) |