Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
lefldiveq.a |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ ) |
2 |
|
lefldiveq.b |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ+ ) |
3 |
|
lefldiveq.c |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ) |
4 |
|
moddiffl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) |
5 |
1 2 4
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) |
6 |
1 2
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
7 |
6
|
flcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℤ ) |
8 |
5 7
|
eqeltrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ∈ ℤ ) |
9 |
|
flid |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ∈ ℤ → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) = ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) |
11 |
10 5
|
eqtr2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ) |
12 |
1 2
|
modcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 mod 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
13 |
1 12
|
resubcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
14 |
13 2
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
15 |
|
iccssre |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
16 |
13 1 15
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ⊆ ℝ ) |
17 |
16 3
|
sseldd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ ) |
18 |
17 2
|
rerpdivcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ ) |
19 |
13
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ) |
20 |
1
|
rexrd |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ* ) |
21 |
|
iccgelb |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ) → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ≤ 𝐶 ) |
22 |
19 20 3 21
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ≤ 𝐶 ) |
23 |
13 17 2 22
|
lediv1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) |
24 |
|
flwordi |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ≤ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) |
25 |
14 18 23 24
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) |
26 |
11 25
|
eqbrtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) |
27 |
|
iccleub |
⊢ ( ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ( ( 𝐴 − ( 𝐴 mod 𝐵 ) ) [,] 𝐴 ) ) → 𝐶 ≤ 𝐴 ) |
28 |
19 20 3 27
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴 ) |
29 |
17 1 2 28
|
lediv1dd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) |
30 |
|
flwordi |
⊢ ( ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ ∧ ( 𝐶 / 𝐵 ) ≤ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) |
31 |
18 6 29 30
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) |
32 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐴 / 𝐵 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
33 |
6 32
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
34 |
|
reflcl |
⊢ ( ( 𝐶 / 𝐵 ) ∈ ℝ → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
35 |
18 34
|
syl |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∈ ℝ ) |
36 |
33 35
|
letri3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ↔ ( ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ∧ ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ≤ ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) ) ) ) |
37 |
26 31 36
|
mpbir2and |
⊢ ( 𝜑 → ( ⌊ ‘ ( 𝐴 / 𝐵 ) ) = ( ⌊ ‘ ( 𝐶 / 𝐵 ) ) ) |