Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mapdh.q |
⊢ 𝑄 = ( 0g ‘ 𝐶 ) |
2 |
|
mapdh.i |
⊢ 𝐼 = ( 𝑥 ∈ V ↦ if ( ( 2nd ‘ 𝑥 ) = 0 , 𝑄 , ( ℩ ℎ ∈ 𝐷 ( ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( 2nd ‘ 𝑥 ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ℎ } ) ∧ ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { ( ( 1st ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) − ( 2nd ‘ 𝑥 ) ) } ) ) = ( 𝐽 ‘ { ( ( 2nd ‘ ( 1st ‘ 𝑥 ) ) 𝑅 ℎ ) } ) ) ) ) ) |
3 |
|
mapdh.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
mapdh.m |
⊢ 𝑀 = ( ( mapd ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
5 |
|
mapdh.u |
⊢ 𝑈 = ( ( DVecH ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
6 |
|
mapdh.v |
⊢ 𝑉 = ( Base ‘ 𝑈 ) |
7 |
|
mapdh.s |
⊢ − = ( -g ‘ 𝑈 ) |
8 |
|
mapdhc.o |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑈 ) |
9 |
|
mapdh.n |
⊢ 𝑁 = ( LSpan ‘ 𝑈 ) |
10 |
|
mapdh.c |
⊢ 𝐶 = ( ( LCDual ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
11 |
|
mapdh.d |
⊢ 𝐷 = ( Base ‘ 𝐶 ) |
12 |
|
mapdh.r |
⊢ 𝑅 = ( -g ‘ 𝐶 ) |
13 |
|
mapdh.j |
⊢ 𝐽 = ( LSpan ‘ 𝐶 ) |
14 |
|
mapdh.k |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
15 |
|
mapdhc.f |
⊢ ( 𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷 ) |
16 |
|
mapdh.mn |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑀 ‘ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) = ( 𝐽 ‘ { 𝐹 } ) ) |
17 |
|
mapdhcl.x |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
18 |
|
mapdh.p |
⊢ + = ( +g ‘ 𝑈 ) |
19 |
|
mapdh.a |
⊢ ✚ = ( +g ‘ 𝐶 ) |
20 |
|
mapdh6d.xn |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 , 𝑍 } ) ) |
21 |
|
mapdh6d.yz |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) = ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) |
22 |
|
mapdh6d.y |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
23 |
|
mapdh6d.z |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
24 |
|
mapdh6d.w |
⊢ ( 𝜑 → 𝑤 ∈ ( 𝑉 ∖ { 0 } ) ) |
25 |
|
mapdh6d.wn |
⊢ ( 𝜑 → ¬ 𝑤 ∈ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 , 𝑌 } ) ) |
26 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
|
mapdh6gN |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ) = ( ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) |
27 |
3 10 14
|
lcdlmod |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ LMod ) |
28 |
24
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑤 ∈ 𝑉 ) |
29 |
3 5 14
|
dvhlvec |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LVec ) |
30 |
17
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
31 |
22
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉 ) |
32 |
6 9 29 28 30 31 25
|
lspindpi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) ) |
33 |
32
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ) |
34 |
33
|
necomd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑤 } ) ) |
35 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 28 34
|
mapdhcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
36 |
23
|
eldifad |
⊢ ( 𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉 ) |
37 |
6 9 29 30 31 36 20
|
lspindpi |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ∧ ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) ) |
38 |
37
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑌 } ) ) |
39 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 31 38
|
mapdhcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
40 |
37
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { 𝑍 } ) ) |
41 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 36 40
|
mapdhcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
42 |
11 19
|
lmodass |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ LMod ∧ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ) |
43 |
27 35 39 41 42
|
syl13anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ) |
44 |
26 43
|
eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ) |
45 |
3 5 14
|
dvhlmod |
⊢ ( 𝜑 → 𝑈 ∈ LMod ) |
46 |
6 18
|
lmodvacl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉 ) → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
47 |
45 31 36 46
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑌 + 𝑍 ) ∈ 𝑉 ) |
48 |
6 18 8 9 29 17 22 23 24 21 38 25
|
mapdindp1 |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝑁 ‘ { 𝑋 } ) ≠ ( 𝑁 ‘ { ( 𝑌 + 𝑍 ) } ) ) |
49 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 47 48
|
mapdhcl |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ∈ 𝐷 ) |
50 |
11 19
|
lmodvacl |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ LMod ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ∈ 𝐷 ) → ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ∈ 𝐷 ) |
51 |
27 39 41 50
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ∈ 𝐷 ) |
52 |
11 19
|
lmodlcan |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ LMod ∧ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ∈ 𝐷 ∧ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ∈ 𝐷 ∧ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ∈ 𝐷 ) ) → ( ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ↔ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ) |
53 |
27 49 51 35 52
|
syl13anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑤 〉 ) ✚ ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ↔ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) ) |
54 |
44 53
|
mpbid |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , ( 𝑌 + 𝑍 ) 〉 ) = ( ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑌 〉 ) ✚ ( 𝐼 ‘ 〈 𝑋 , 𝐹 , 𝑍 〉 ) ) ) |