mdsl2i

Description: If the modular pair property holds in a sublattice, it holds in the whole lattice. Lemma 1.4 of MaedaMaeda p. 2. (Contributed by NM, 28-Apr-2006) (New usage is discouraged.)

	Ref	Expression
Hypotheses	mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ C_ℋ
	mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ C_ℋ
Assertion	mdsl2i	⊢ ( 𝐴 𝑀_ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ C_ℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdsl.1	⊢ 𝐴 ∈ C_ℋ
2		mdsl.2	⊢ 𝐵 ∈ C_ℋ
3		chub1	⊢ ( ( 𝑥 ∈ C_ℋ ∧ 𝐴 ∈ C_ℋ ) → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) )
4	1 3	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) )
5		iba	⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ↔ ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
6		ssin	⊢ ( ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
7	5 6	bitrdi	⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ↔ 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
8	4 7	syl5ibcom	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
9		chub2	⊢ ( ( 𝐴 ∈ C_ℋ ∧ 𝑥 ∈ C_ℋ ) → 𝐴 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) )
10	1 9	mpan	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → 𝐴 ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) )
11	10	ssrind	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) )
12	8 11	jctird	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ) )
13		chjcl	⊢ ( ( 𝑥 ∈ C_ℋ ∧ 𝐴 ∈ C_ℋ ) → ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∈ C_ℋ )
14	1 13	mpan2	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∈ C_ℋ )
15		chincl	⊢ ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∈ C_ℋ ∧ 𝐵 ∈ C_ℋ ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ )
16	2 15	mpan2	⊢ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∈ C_ℋ → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ )
17	14 16	syl	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ )
18	1 2	chincli	⊢ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ
19		chlub	⊢ ( ( 𝑥 ∈ C_ℋ ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ ∧ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
20	18 19	mp3an2	⊢ ( ( 𝑥 ∈ C_ℋ ∧ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∈ C_ℋ ) → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
21	17 20	mpdan	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( 𝑥 ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ∧ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
22	12 21	sylibd	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
23		eqss	⊢ ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ∧ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ) )
24	23	rbaib	⊢ ( ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ⊆ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
25	22 24	syl6	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
26	25	adantld	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ↔ ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
27	26	pm5.74d	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
28	2 1	chub2i	⊢ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 )
29		sstr	⊢ ( ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) )
30	28 29	mpan2	⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) )
31	30	pm4.71ri	⊢ ( 𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) )
32	31	anbi2i	⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
33		anass	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ ( 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ) )
34	32 33	bitr4i	⊢ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) )
35	34	imbi1i	⊢ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )
36	27 35	bitr3di	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
37		impexp	⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
38	36 37	bitrdi	⊢ ( 𝑥 ∈ C_ℋ → ( ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ) )
39	38	ralbiia	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ C_ℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ↔ ∀ 𝑥 ∈ C_ℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) )
40	1 2	mdsl1i	⊢ ( ∀ 𝑥 ∈ C_ℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ ( 𝐴 ∨_ℋ 𝐵 ) ) → ( 𝑥 ⊆ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) = ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) ) ↔ 𝐴 𝑀_ℋ 𝐵 )
41	39 40	bitr2i	⊢ ( 𝐴 𝑀_ℋ 𝐵 ↔ ∀ 𝑥 ∈ C_ℋ ( ( ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ⊆ 𝑥 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∨_ℋ 𝐴 ) ∩ 𝐵 ) ⊆ ( 𝑥 ∨_ℋ ( 𝐴 ∩ 𝐵 ) ) ) )

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Theorem mdsl2i

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