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Theorem metdsre

Description: The distance from a point to a nonempty set in a proper metric space is a real number. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015)

Ref Expression
Hypothesis metdscn.f 𝐹 = ( 𝑥𝑋 ↦ inf ( ran ( 𝑦𝑆 ↦ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) , ℝ* , < ) )
Assertion metdsre ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 metdscn.f 𝐹 = ( 𝑥𝑋 ↦ inf ( ran ( 𝑦𝑆 ↦ ( 𝑥 𝐷 𝑦 ) ) , ℝ* , < ) )
2 n0 ( 𝑆 ≠ ∅ ↔ ∃ 𝑧 𝑧𝑆 )
3 metxmet ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) → 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) )
4 1 metdsf ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
5 3 4 sylan ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
6 5 adantr ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
7 6 ffnd ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) → 𝐹 Fn 𝑋 )
8 5 adantr ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ( 0 [,] +∞ ) )
9 simprr ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → 𝑤𝑋 )
10 8 9 ffvelrnd ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) )
11 eliccxr ( ( 𝐹𝑤 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ* )
12 10 11 syl ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ* )
13 simpll ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) )
14 simpr ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → 𝑆𝑋 )
15 14 sselda ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) → 𝑧𝑋 )
16 15 adantrr ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → 𝑧𝑋 )
17 metcl ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋 ) → ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) ∈ ℝ )
18 13 16 9 17 syl3anc ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) ∈ ℝ )
19 elxrge0 ( ( 𝐹𝑤 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) ↔ ( ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ( 𝐹𝑤 ) ) )
20 19 simprbi ( ( 𝐹𝑤 ) ∈ ( 0 [,] +∞ ) → 0 ≤ ( 𝐹𝑤 ) )
21 10 20 syl ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → 0 ≤ ( 𝐹𝑤 ) )
22 1 metdsle ( ( ( 𝐷 ∈ ( ∞Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ≤ ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) )
23 3 22 sylanl1 ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ≤ ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) )
24 xrrege0 ( ( ( ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ* ∧ ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) ∈ ℝ ) ∧ ( 0 ≤ ( 𝐹𝑤 ) ∧ ( 𝐹𝑤 ) ≤ ( 𝑧 𝐷 𝑤 ) ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ )
25 12 18 21 23 24 syl22anc ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ ( 𝑧𝑆𝑤𝑋 ) ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ )
26 25 anassrs ( ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) ∧ 𝑤𝑋 ) → ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ )
27 26 ralrimiva ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) → ∀ 𝑤𝑋 ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ )
28 ffnfv ( 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ ↔ ( 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀ 𝑤𝑋 ( 𝐹𝑤 ) ∈ ℝ ) )
29 7 27 28 sylanbrc ( ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) ∧ 𝑧𝑆 ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ )
30 29 ex ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( 𝑧𝑆𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ ) )
31 30 exlimdv ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( ∃ 𝑧 𝑧𝑆𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ ) )
32 2 31 syl5bi ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋 ) → ( 𝑆 ≠ ∅ → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ ) )
33 32 3impia ( ( 𝐷 ∈ ( Met ‘ 𝑋 ) ∧ 𝑆𝑋𝑆 ≠ ∅ ) → 𝐹 : 𝑋 ⟶ ℝ )