Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
eluzelcn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑁 ∈ ℂ ) |
3 |
|
zcn |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ ) |
4 |
3
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℂ ) |
5 |
2 4
|
mulcomd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) = ( 𝐴 · 𝑁 ) ) |
6 |
5
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) = ( ( 𝐴 · 𝑁 ) mod 𝑁 ) ) |
7 |
|
eluz2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
8 |
7
|
nnrpd |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
9 |
|
mulmod0 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( 𝐴 · 𝑁 ) mod 𝑁 ) = 0 ) |
10 |
8 9
|
sylan2 |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝐴 · 𝑁 ) mod 𝑁 ) = 0 ) |
11 |
6 10
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) = 0 ) |
12 |
11
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) + 1 ) = ( 0 + 1 ) ) |
13 |
|
0p1e1 |
⊢ ( 0 + 1 ) = 1 |
14 |
12 13
|
eqtrdi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) + 1 ) = 1 ) |
15 |
14
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( 1 mod 𝑁 ) ) |
16 |
|
eluzelre |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
17 |
16
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ ) |
18 |
|
zre |
⊢ ( 𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ ) |
19 |
18
|
adantr |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝐴 ∈ ℝ ) |
20 |
17 19
|
remulcld |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ ℝ ) |
21 |
|
1red |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 1 ∈ ℝ ) |
22 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → 𝑁 ∈ ℝ+ ) |
23 |
|
modaddmod |
⊢ ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ) → ( ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
24 |
20 21 22 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) mod 𝑁 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) + 1 ) mod 𝑁 ) ) |
25 |
|
eluz2gt1 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → 1 < 𝑁 ) |
26 |
16 25
|
jca |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁 ) ) |
27 |
26
|
adantl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁 ) ) |
28 |
|
1mod |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁 ) → ( 1 mod 𝑁 ) = 1 ) |
29 |
27 28
|
syl |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( 1 mod 𝑁 ) = 1 ) |
30 |
15 24 29
|
3eqtr3d |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝑁 · 𝐴 ) + 1 ) mod 𝑁 ) = 1 ) |