Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
numclwwlk3.v |
⊢ 𝑉 = ( Vtx ‘ 𝐺 ) |
2 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ) |
3 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑉 ∈ Fin ) |
4 |
1
|
finrusgrfusgr |
⊢ ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin ) → 𝐺 ∈ FinUSGraph ) |
5 |
2 3 4
|
syl2an |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝐺 ∈ FinUSGraph ) |
6 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝑋 ∈ 𝑉 ) |
7 |
|
uzuzle23 |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
8 |
7
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) |
10 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) |
11 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) |
12 |
10 11
|
numclwwlk3lem2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ) ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) 𝑁 ) ) + ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) 𝑁 ) ) ) ) |
13 |
5 6 9 12
|
syl21anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ) = ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) 𝑁 ) ) + ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) 𝑁 ) ) ) ) |
14 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑛 WWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘ 𝑤 ) ≠ 𝑣 ) } ) = ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ℕ ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑛 WWalksN 𝐺 ) ∣ ( ( 𝑤 ‘ 0 ) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘ 𝑤 ) ≠ 𝑣 ) } ) |
15 |
1 14 11
|
numclwwlk2 |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) 𝑁 ) ) = ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |
16 |
2 3
|
anim12ci |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ) ) |
17 |
|
3simpc |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) |
18 |
17
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) = ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) |
20 |
1 10 19
|
numclwwlk1 |
⊢ ( ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ) ∧ ( 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) 𝑁 ) ) = ( 𝐾 · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |
21 |
16 18 20
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) 𝑁 ) ) = ( 𝐾 · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) |
22 |
15 21
|
oveq12d |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) ≠ 𝑣 } ) 𝑁 ) ) + ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( 𝑣 ∈ 𝑉 , 𝑛 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ↦ { 𝑤 ∈ ( 𝑣 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑛 ) ∣ ( 𝑤 ‘ ( 𝑛 − 2 ) ) = 𝑣 } ) 𝑁 ) ) ) = ( ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) ) |
23 |
|
simpll |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ) |
24 |
|
ne0i |
⊢ ( 𝑋 ∈ 𝑉 → 𝑉 ≠ ∅ ) |
25 |
24
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → 𝑉 ≠ ∅ ) |
26 |
25
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝑉 ≠ ∅ ) |
27 |
1
|
frusgrnn0 |
⊢ ( ( 𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ≠ ∅ ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
28 |
5 23 26 27
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℕ0 ) |
29 |
28
|
nn0cnd |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → 𝐾 ∈ ℂ ) |
30 |
|
uz3m2nn |
⊢ ( 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) → ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) |
31 |
30
|
3anim3i |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) → ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
32 |
31
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) ) |
33 |
1
|
clwwlknonfin |
⊢ ( 𝑉 ∈ Fin → ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ Fin ) |
34 |
33
|
3ad2ant1 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ( 𝑁 − 2 ) ∈ ℕ ) → ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ Fin ) |
35 |
|
hashcl |
⊢ ( ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ∈ ℕ0 ) |
36 |
35
|
nn0cnd |
⊢ ( ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ∈ Fin → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
37 |
32 34 36
|
3syl |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ∈ ℂ ) |
38 |
|
numclwwlk3lem1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ℂ ∧ ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 2 ) ) → ( ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) |
39 |
29 37 9 38
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ( ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) − ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) ) = ( ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) |
40 |
13 22 39
|
3eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ ( 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ( ℤ≥ ‘ 3 ) ) ) → ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) 𝑁 ) ) = ( ( ( 𝐾 − 1 ) · ( ♯ ‘ ( 𝑋 ( ClWWalksNOn ‘ 𝐺 ) ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) + ( 𝐾 ↑ ( 𝑁 − 2 ) ) ) ) |