Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
opabex3.1 |
⊢ 𝐴 ∈ V |
2 |
|
opabex3.2 |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → { 𝑦 ∣ 𝜑 } ∈ V ) |
3 |
|
19.42v |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
4 |
|
an12 |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
5 |
4
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
6 |
|
elxp |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑣 ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
7 |
|
excom |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
8 |
|
an12 |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
9 |
|
velsn |
⊢ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ↔ 𝑣 = 𝑥 ) |
10 |
9
|
anbi1i |
⊢ ( ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑣 = 𝑥 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
11 |
8 10
|
bitri |
⊢ ( ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑣 = 𝑥 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
12 |
11
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑣 ( 𝑣 = 𝑥 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
13 |
|
opeq1 |
⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → 〈 𝑣 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ) |
14 |
13
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ↔ 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ) ) |
15 |
14
|
anbi1d |
⊢ ( 𝑣 = 𝑥 → ( ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
16 |
15
|
equsexvw |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑣 = 𝑥 ∧ ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) |
17 |
12 16
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑣 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) |
18 |
17
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) |
19 |
7 18
|
bitri |
⊢ ( ∃ 𝑣 ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑣 , 𝑤 〉 ∧ ( 𝑣 ∈ { 𝑥 } ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) |
20 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 |
21 |
|
nfsab1 |
⊢ Ⅎ 𝑦 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } |
22 |
20 21
|
nfan |
⊢ Ⅎ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) |
23 |
|
nfv |
⊢ Ⅎ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) |
24 |
|
opeq2 |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → 〈 𝑥 , 𝑤 〉 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) |
25 |
24
|
eqeq2d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ↔ 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ) ) |
26 |
|
df-clab |
⊢ ( 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ↔ [ 𝑤 / 𝑦 ] 𝜑 ) |
27 |
|
sbequ12 |
⊢ ( 𝑦 = 𝑤 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑤 / 𝑦 ] 𝜑 ) ) |
28 |
27
|
equcoms |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝜑 ↔ [ 𝑤 / 𝑦 ] 𝜑 ) ) |
29 |
26 28
|
bitr4id |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ↔ 𝜑 ) ) |
30 |
25 29
|
anbi12d |
⊢ ( 𝑤 = 𝑦 → ( ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
31 |
22 23 30
|
cbvexv1 |
⊢ ( ∃ 𝑤 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑤 〉 ∧ 𝑤 ∈ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
32 |
6 19 31
|
3bitri |
⊢ ( 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) |
33 |
32
|
anbi2i |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ 𝜑 ) ) ) |
34 |
3 5 33
|
3bitr4ri |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
35 |
34
|
exbii |
⊢ ( ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
36 |
|
eliun |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) |
37 |
|
df-rex |
⊢ ( ∃ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
38 |
36 37
|
bitri |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ ∃ 𝑥 ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ) ) |
39 |
|
elopab |
⊢ ( 𝑧 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } ↔ ∃ 𝑥 ∃ 𝑦 ( 𝑧 = 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∧ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) ) ) |
40 |
35 38 39
|
3bitr4i |
⊢ ( 𝑧 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ↔ 𝑧 ∈ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } ) |
41 |
40
|
eqriv |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } |
42 |
|
snex |
⊢ { 𝑥 } ∈ V |
43 |
|
xpexg |
⊢ ( ( { 𝑥 } ∈ V ∧ { 𝑦 ∣ 𝜑 } ∈ V ) → ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V ) |
44 |
42 2 43
|
sylancr |
⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐴 → ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V ) |
45 |
44
|
rgen |
⊢ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V |
46 |
|
iunexg |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ V ∧ ∀ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V ) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V ) |
47 |
1 45 46
|
mp2an |
⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ( { 𝑥 } × { 𝑦 ∣ 𝜑 } ) ∈ V |
48 |
41 47
|
eqeltrri |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝜑 ) } ∈ V |