Theorem ringlghm

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

	Ref	Expression
Hypotheses	ringlghm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	ringlghm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	ringlghm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringlghm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		ringlghm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
4		ringgrp	⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp )
6	1 2	ringcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
7	6	3expa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
8	7	fmpttd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
9		3anass	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) )
10	1 3 2	ringdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
11	9 10	sylan2br	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
12	11	anassrs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
13	1 3	ringacl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
14	13	3expb	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
15	14	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 )
16		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
17		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) )
18		ovex	⊢ ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) ∈ V
19	16 17 18	fvmpt	⊢ ( ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
20	15 19	syl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) )
21		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑦 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑦 ) )
22		ovex	⊢ ( 𝑋 · 𝑦 ) ∈ V
23	21 17 22	fvmpt	⊢ ( 𝑦 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) = ( 𝑋 · 𝑦 ) )
24		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑧 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑧 ) )
25		ovex	⊢ ( 𝑋 · 𝑧 ) ∈ V
26	24 17 25	fvmpt	⊢ ( 𝑧 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) = ( 𝑋 · 𝑧 ) )
27	23 26	oveqan12d	⊢ ( ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
28	27	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑧 ) ) )
29	12 20 28	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑦 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑧 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑦 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑧 ) ) )
30	1 1 3 3 5 5 8 29	isghmd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 GrpHom 𝑅 ) )