Metamath Proof Explorer

Theorem ringlghm

Description: Left-multiplication in a ring by a fixed element of the ring is a group homomorphism. (It is not usually a ring homomorphism.) (Contributed by Mario Carneiro, 4-May-2015)

Ref Expression
Hypotheses ringlghm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
ringlghm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion ringlghm ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โˆˆ ( ๐‘… GrpHom ๐‘… ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ringlghm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 ringlghm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 eqid โŠข ( +g โ€˜ ๐‘… ) = ( +g โ€˜ ๐‘… )
4 ringgrp โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
5 4 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
6 1 2 ringcl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) โˆˆ ๐ต )
7 6 3expa โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) โˆˆ ๐ต )
8 7 fmpttd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต )
9 3anass โŠข ( ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) )
10 1 3 2 ringdi โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) ) )
11 9 10 sylan2br โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) ) )
12 11 anassrs โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) ) )
13 1 3 ringacl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) โˆˆ ๐ต )
14 13 3expb โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) โˆˆ ๐ต )
15 14 adantlr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) โˆˆ ๐ต )
16 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) )
17 eqid โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) = ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) )
18 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) โˆˆ V
19 16 17 18 fvmpt โŠข ( ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) )
20 15 19 syl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) )
21 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) )
22 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) โˆˆ V
23 21 17 22 fvmpt โŠข ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ฆ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) )
24 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) )
25 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) โˆˆ V
26 24 17 25 fvmpt โŠข ( ๐‘ง โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ง ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) )
27 23 26 oveqan12d โŠข ( ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) ) )
28 27 adantl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ง ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ง ) ) )
29 12 20 28 3eqtr4d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ง ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ฆ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ง ) ) )
30 1 1 3 3 5 5 8 29 isghmd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โˆˆ ( ๐‘… GrpHom ๐‘… ) )