Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sharhght.sigar |
⊢ 𝐺 = ( 𝑥 ∈ ℂ , 𝑦 ∈ ℂ ↦ ( ℑ ‘ ( ( ∗ ‘ 𝑥 ) · 𝑦 ) ) ) |
2 |
|
sharhght.a |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ) ) |
3 |
|
sharhght.b |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 ∈ ℂ ∧ ( ( 𝐴 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = 0 ) ) |
4 |
2
|
simp1d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ ) |
5 |
2
|
simp3d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ ) |
6 |
3
|
simpld |
⊢ ( 𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ ) |
7 |
4 5 6
|
nnncan1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐴 − 𝐷 ) ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) |
8 |
7
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
9 |
2
|
simp2d |
⊢ ( 𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ ) |
10 |
9 6
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
11 |
4 5
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
12 |
4 6
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐴 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
13 |
1
|
sigarms |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) ) |
14 |
10 11 12 13
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐴 − 𝐶 ) − ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) ) |
15 |
8 14
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) ) |
16 |
1
|
sigarac |
⊢ ( ( ( 𝐴 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐴 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) |
17 |
12 10 16
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) |
18 |
3
|
simprd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐴 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = 0 ) |
19 |
17 18
|
eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) = 0 ) |
20 |
19
|
negeqd |
⊢ ( 𝜑 → - - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) = - 0 ) |
21 |
10 12
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) ) |
22 |
1 21
|
sigarimcd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) |
23 |
22
|
negnegd |
⊢ ( 𝜑 → - - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) |
24 |
|
neg0 |
⊢ - 0 = 0 |
25 |
24
|
a1i |
⊢ ( 𝜑 → - 0 = 0 ) |
26 |
20 23 25
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) = 0 ) |
27 |
26
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐷 ) ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − 0 ) ) |
28 |
10 11
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) ) |
29 |
1 28
|
sigarimcd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ∈ ℂ ) |
30 |
29
|
subid1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − 0 ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) |
31 |
15 27 30
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) |
32 |
9 6 5
|
nnncan2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐶 ) − ( 𝐷 − 𝐶 ) ) = ( 𝐵 − 𝐷 ) ) |
33 |
32
|
oveq1d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) − ( 𝐷 − 𝐶 ) ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) |
34 |
9 5
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
35 |
6 5
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐷 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) |
36 |
1
|
sigarmf |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐴 − 𝐶 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐷 − 𝐶 ) ∈ ℂ ) → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) − ( 𝐷 − 𝐶 ) ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐷 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) ) |
37 |
34 11 35 36
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) − ( 𝐷 − 𝐶 ) ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐷 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) ) |
38 |
31 33 37
|
3eqtr2rd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐷 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
39 |
5 6
|
subcld |
⊢ ( 𝜑 → ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) |
40 |
|
1red |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℝ ) |
41 |
40
|
renegcld |
⊢ ( 𝜑 → - 1 ∈ ℝ ) |
42 |
1
|
sigarls |
⊢ ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ - 1 ∈ ℝ ) → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) · - 1 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) · - 1 ) ) |
43 |
10 39 41 42
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) · - 1 ) ) = ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) · - 1 ) ) |
44 |
39
|
mulm1d |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = - ( 𝐶 − 𝐷 ) ) |
45 |
|
1cnd |
⊢ ( 𝜑 → 1 ∈ ℂ ) |
46 |
45
|
negcld |
⊢ ( 𝜑 → - 1 ∈ ℂ ) |
47 |
46 39
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 · ( 𝐶 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐷 ) · - 1 ) ) |
48 |
5 6
|
negsubdi2d |
⊢ ( 𝜑 → - ( 𝐶 − 𝐷 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) |
49 |
44 47 48
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) · - 1 ) = ( 𝐷 − 𝐶 ) ) |
50 |
49
|
oveq2d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( ( 𝐶 − 𝐷 ) · - 1 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
51 |
10 39
|
jca |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) ) |
52 |
1 51
|
sigarimcd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ∈ ℂ ) |
53 |
52
|
mulm1d |
⊢ ( 𝜑 → ( - 1 · ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) = - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
54 |
52 46
|
mulcomd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) · - 1 ) = ( - 1 · ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) ) |
55 |
1
|
sigarac |
⊢ ( ( ( 𝐶 − 𝐷 ) ∈ ℂ ∧ ( 𝐵 − 𝐷 ) ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
56 |
39 10 55
|
syl2anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = - ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) ) |
57 |
53 54 56
|
3eqtr4d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐶 − 𝐷 ) ) · - 1 ) = ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) ) |
58 |
43 50 57
|
3eqtr3d |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐵 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) = ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) ) |
59 |
1
|
sigarperm |
⊢ ( ( 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ ) → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
60 |
5 9 6 59
|
syl3anc |
⊢ ( 𝜑 → ( ( 𝐶 − 𝐷 ) 𝐺 ( 𝐵 − 𝐷 ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |
61 |
38 58 60
|
3eqtrd |
⊢ ( 𝜑 → ( ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) − ( ( 𝐷 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐴 − 𝐶 ) ) ) = ( ( 𝐵 − 𝐶 ) 𝐺 ( 𝐷 − 𝐶 ) ) ) |