Theorem sotr3

Description: Transitivity law for strict orderings. (Contributed by Scott Fenton, 24-Nov-2021)

	Ref	Expression
Assertion	sotr3	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑋 𝑅 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 𝑅 𝑌 ) → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) → 𝑍 ∈ 𝐴 )
2		simp2	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) → 𝑌 ∈ 𝐴 )
3	1 2	jca	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) )
4		sotric	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑍 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑍 𝑅 𝑌 ↔ ¬ ( 𝑍 = 𝑌 ∨ 𝑌 𝑅 𝑍 ) ) )
5	3 4	sylan2	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( 𝑍 𝑅 𝑌 ↔ ¬ ( 𝑍 = 𝑌 ∨ 𝑌 𝑅 𝑍 ) ) )
6	5	con2bid	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑍 = 𝑌 ∨ 𝑌 𝑅 𝑍 ) ↔ ¬ 𝑍 𝑅 𝑌 ) )
7	6	adantr	⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑋 𝑅 𝑌 ) → ( ( 𝑍 = 𝑌 ∨ 𝑌 𝑅 𝑍 ) ↔ ¬ 𝑍 𝑅 𝑌 ) )
8		breq2	⊢ ( 𝑍 = 𝑌 → ( 𝑋 𝑅 𝑍 ↔ 𝑋 𝑅 𝑌 ) )
9	8	biimprcd	⊢ ( 𝑋 𝑅 𝑌 → ( 𝑍 = 𝑌 → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
10	9	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑋 𝑅 𝑌 ) → ( 𝑍 = 𝑌 → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
11		sotr	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑋 𝑅 𝑌 ∧ 𝑌 𝑅 𝑍 ) → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
12	11	expdimp	⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑋 𝑅 𝑌 ) → ( 𝑌 𝑅 𝑍 → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
13	10 12	jaod	⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑋 𝑅 𝑌 ) → ( ( 𝑍 = 𝑌 ∨ 𝑌 𝑅 𝑍 ) → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
14	7 13	sylbird	⊢ ( ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) ∧ 𝑋 𝑅 𝑌 ) → ( ¬ 𝑍 𝑅 𝑌 → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )
15	14	expimpd	⊢ ( ( 𝑅 Or 𝐴 ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴 ∧ 𝑍 ∈ 𝐴 ) ) → ( ( 𝑋 𝑅 𝑌 ∧ ¬ 𝑍 𝑅 𝑌 ) → 𝑋 𝑅 𝑍 ) )