Theorem srglmhm

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm . (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

	Ref	Expression
Hypotheses	srglmhm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
	srglmhm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
Assertion	srglmhm	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srglmhm.b	⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 )
2		srglmhm.t	⊢ · = ( .r ‘ 𝑅 )
3		srgmnd	⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → 𝑅 ∈ Mnd )
4	3 3	jca	⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) )
6	1 2	srgcl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
7	6	3expa	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) ∈ 𝐵 )
8	7	fmpttd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 )
9		3anass	⊢ ( ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ↔ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) )
10		eqid	⊢ ( +g ‘ 𝑅 ) = ( +g ‘ 𝑅 )
11	1 10 2	srgdi	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
12	9 11	sylan2br	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
13	12	anassrs	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
14	1 10	srgacl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
15	14	3expb	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
16	15	adantlr	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 )
17		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
18		eqid	⊢ ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) = ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) )
19		ovex	⊢ ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) ∈ V
20	17 18 19	fvmpt	⊢ ( ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
21	16 20	syl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( 𝑋 · ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) )
22		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑎 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑎 ) )
23		ovex	⊢ ( 𝑋 · 𝑎 ) ∈ V
24	22 18 23	fvmpt	⊢ ( 𝑎 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) = ( 𝑋 · 𝑎 ) )
25		oveq2	⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · 𝑏 ) )
26		ovex	⊢ ( 𝑋 · 𝑏 ) ∈ V
27	25 18 26	fvmpt	⊢ ( 𝑏 ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) = ( 𝑋 · 𝑏 ) )
28	24 27	oveqan12d	⊢ ( ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
29	28	adantl	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) = ( ( 𝑋 · 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( 𝑋 · 𝑏 ) ) )
30	13 21 29	3eqtr4d	⊢ ( ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
31	30	ralrimivva	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) )
32		eqid	⊢ ( 0g ‘ 𝑅 ) = ( 0g ‘ 𝑅 )
33	1 32	srg0cl	⊢ ( 𝑅 ∈ SRing → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
34	33	adantr	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 )
35		oveq2	⊢ ( 𝑥 = ( 0g ‘ 𝑅 ) → ( 𝑋 · 𝑥 ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
36		ovex	⊢ ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ∈ V
37	35 18 36	fvmpt	⊢ ( ( 0g ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
38	34 37	syl	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
39	1 2 32	srgrz	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
40	38 39	eqtrd	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) )
41	8 31 40	3jca	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) )
42	1 1 10 10 32 32	ismhm	⊢ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) ↔ ( ( 𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝑅 ∈ Mnd ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) : 𝐵 ⟶ 𝐵 ∧ ∀ 𝑎 ∈ 𝐵 ∀ 𝑏 ∈ 𝐵 ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 𝑎 ( +g ‘ 𝑅 ) 𝑏 ) ) = ( ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑎 ) ( +g ‘ 𝑅 ) ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ 𝑏 ) ) ∧ ( ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ‘ ( 0g ‘ 𝑅 ) ) = ( 0g ‘ 𝑅 ) ) ) )
43	5 41 42	sylanbrc	⊢ ( ( 𝑅 ∈ SRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ( 𝑋 · 𝑥 ) ) ∈ ( 𝑅 MndHom 𝑅 ) )