Metamath Proof Explorer

Theorem srglmhm

Description: Left-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringlghm . (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses srglmhm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
srglmhm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion srglmhm ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srglmhm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 srglmhm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 srgmnd โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd )
4 3 3 jca โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) )
5 4 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) )
6 1 2 srgcl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) โˆˆ ๐ต )
7 6 3expa โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) โˆˆ ๐ต )
8 7 fmpttd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต )
9 3anass โŠข ( ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) )
10 eqid โŠข ( +g โ€˜ ๐‘… ) = ( +g โ€˜ ๐‘… )
11 1 10 2 srgdi โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) ) )
12 9 11 sylan2br โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) ) )
13 12 anassrs โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) ) )
14 1 10 srgacl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
15 14 3expb โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
16 15 adantlr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
17 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) )
18 eqid โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) = ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) )
19 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) โˆˆ V
20 17 18 19 fvmpt โŠข ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) )
21 16 20 syl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) )
22 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) )
23 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) โˆˆ V
24 22 18 23 fvmpt โŠข ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) )
25 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) )
26 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) โˆˆ V
27 25 18 26 fvmpt โŠข ( ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) )
28 24 27 oveqan12d โŠข ( ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) ) )
29 28 adantl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘‹ ยท ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ยท ๐‘ ) ) )
30 13 21 29 3eqtr4d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
31 30 ralrimivva โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
32 eqid โŠข ( 0g โ€˜ ๐‘… ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… )
33 1 32 srg0cl โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต )
34 33 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต )
35 oveq2 โŠข ( ๐‘ฅ = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) = ( ๐‘‹ ยท ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) )
36 ovex โŠข ( ๐‘‹ ยท ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) โˆˆ V
37 35 18 36 fvmpt โŠข ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) )
38 34 37 syl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( ๐‘‹ ยท ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) )
39 1 2 32 srgrz โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ยท ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
40 38 39 eqtrd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
41 8 31 40 3jca โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต โˆง โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) )
42 1 1 10 10 32 32 ismhm โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) โ†” ( ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต โˆง โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) ) )
43 5 41 42 sylanbrc โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘‹ ยท ๐‘ฅ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) )