Metamath Proof Explorer

Theorem srgrmhm

Description: Right-multiplication in a semiring by a fixed element of the ring is a monoid homomorphism, analogous to ringrghm . (Contributed by AV, 23-Aug-2019)

Ref Expression
Hypotheses srglmhm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
srglmhm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion srgrmhm ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 srglmhm.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 srglmhm.t โŠข ยท = ( .r โ€˜ ๐‘… )
3 srgmnd โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd )
4 3 3 jca โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) )
5 4 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) )
6 1 2 srgcl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
7 6 3com23 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
8 7 3expa โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
9 8 fmpttd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต )
10 3anrot โŠข ( ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) )
11 3anass โŠข ( ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) )
12 10 11 bitr3i โŠข ( ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†” ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) )
13 eqid โŠข ( +g โ€˜ ๐‘… ) = ( +g โ€˜ ๐‘… )
14 1 13 2 srgdir โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ) )
15 12 14 sylan2br โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) ) โ†’ ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ) )
16 15 anassrs โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ) )
17 1 13 srgacl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
18 17 3expb โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
19 18 adantlr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต )
20 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) )
21 eqid โŠข ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) = ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) )
22 ovex โŠข ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) โˆˆ V
23 20 21 22 fvmpt โŠข ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) )
24 19 23 syl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ยท ๐‘‹ ) )
25 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘Ž โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) )
26 ovex โŠข ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) โˆˆ V
27 25 21 26 fvmpt โŠข ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) = ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) )
28 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) )
29 ovex โŠข ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ V
30 28 21 29 fvmpt โŠข ( ๐‘ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) = ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) )
31 27 30 oveqan12d โŠข ( ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ) )
32 31 adantl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) = ( ( ๐‘Ž ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ) )
33 16 24 32 3eqtr4d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ( ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
34 33 ralrimivva โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) )
35 eqid โŠข ( 0g โ€˜ ๐‘… ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… )
36 1 35 srg0cl โŠข ( ๐‘… โˆˆ SRing โ†’ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต )
37 36 adantr โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต )
38 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ยท ๐‘‹ ) )
39 ovex โŠข ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ยท ๐‘‹ ) โˆˆ V
40 38 21 39 fvmpt โŠข ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ยท ๐‘‹ ) )
41 37 40 syl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ยท ๐‘‹ ) )
42 1 2 35 srglz โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ยท ๐‘‹ ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
43 41 42 eqtrd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
44 9 34 43 3jca โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต โˆง โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) )
45 1 1 13 13 35 35 ismhm โŠข ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) โ†” ( ( ๐‘… โˆˆ Mnd โˆง ๐‘… โˆˆ Mnd ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) : ๐ต โŸถ ๐ต โˆง โˆ€ ๐‘Ž โˆˆ ๐ต โˆ€ ๐‘ โˆˆ ๐ต ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( ๐‘Ž ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘ ) ) = ( ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘Ž ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ๐‘ ) ) โˆง ( ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โ€˜ ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ) ) )
46 5 44 45 sylanbrc โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ SRing โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โ†ฆ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ) โˆˆ ( ๐‘… MndHom ๐‘… ) )