Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srglmhm.b |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
srglmhm.t |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
srgmnd |
|- ( R e. SRing -> R e. Mnd ) |
4 |
3 3
|
jca |
|- ( R e. SRing -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) ) |
5 |
4
|
adantr |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) ) |
6 |
1 2
|
srgcl |
|- ( ( R e. SRing /\ x e. B /\ X e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
7 |
6
|
3com23 |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
8 |
7
|
3expa |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ x e. B ) -> ( x .x. X ) e. B ) |
9 |
8
|
fmpttd |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B ) |
10 |
|
3anrot |
|- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) ) |
11 |
|
3anass |
|- ( ( X e. B /\ a e. B /\ b e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) |
12 |
10 11
|
bitr3i |
|- ( ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) <-> ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) |
13 |
|
eqid |
|- ( +g ` R ) = ( +g ` R ) |
14 |
1 13 2
|
srgdir |
|- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) ) |
15 |
12 14
|
sylan2br |
|- ( ( R e. SRing /\ ( X e. B /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) ) |
16 |
15
|
anassrs |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) ) |
17 |
1 13
|
srgacl |
|- ( ( R e. SRing /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
18 |
17
|
3expb |
|- ( ( R e. SRing /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
19 |
18
|
adantlr |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( a ( +g ` R ) b ) e. B ) |
20 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( a ( +g ` R ) b ) -> ( x .x. X ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) ) |
21 |
|
eqid |
|- ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) = ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) |
22 |
|
ovex |
|- ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) e. _V |
23 |
20 21 22
|
fvmpt |
|- ( ( a ( +g ` R ) b ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) ) |
24 |
19 23
|
syl |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( a ( +g ` R ) b ) .x. X ) ) |
25 |
|
oveq1 |
|- ( x = a -> ( x .x. X ) = ( a .x. X ) ) |
26 |
|
ovex |
|- ( a .x. X ) e. _V |
27 |
25 21 26
|
fvmpt |
|- ( a e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) = ( a .x. X ) ) |
28 |
|
oveq1 |
|- ( x = b -> ( x .x. X ) = ( b .x. X ) ) |
29 |
|
ovex |
|- ( b .x. X ) e. _V |
30 |
28 21 29
|
fvmpt |
|- ( b e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) = ( b .x. X ) ) |
31 |
27 30
|
oveqan12d |
|- ( ( a e. B /\ b e. B ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) = ( ( a .x. X ) ( +g ` R ) ( b .x. X ) ) ) |
33 |
16 24 32
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( R e. SRing /\ X e. B ) /\ ( a e. B /\ b e. B ) ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) ) |
34 |
33
|
ralrimivva |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) ) |
35 |
|
eqid |
|- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R ) |
36 |
1 35
|
srg0cl |
|- ( R e. SRing -> ( 0g ` R ) e. B ) |
37 |
36
|
adantr |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( 0g ` R ) e. B ) |
38 |
|
oveq1 |
|- ( x = ( 0g ` R ) -> ( x .x. X ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) ) |
39 |
|
ovex |
|- ( ( 0g ` R ) .x. X ) e. _V |
40 |
38 21 39
|
fvmpt |
|- ( ( 0g ` R ) e. B -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) ) |
41 |
37 40
|
syl |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( ( 0g ` R ) .x. X ) ) |
42 |
1 2 35
|
srglz |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( 0g ` R ) .x. X ) = ( 0g ` R ) ) |
43 |
41 42
|
eqtrd |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) |
44 |
9 34 43
|
3jca |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) |
45 |
1 1 13 13 35 35
|
ismhm |
|- ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) <-> ( ( R e. Mnd /\ R e. Mnd ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) : B --> B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( a ( +g ` R ) b ) ) = ( ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` a ) ( +g ` R ) ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` b ) ) /\ ( ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` R ) ) ) ) |
46 |
5 44 45
|
sylanbrc |
|- ( ( R e. SRing /\ X e. B ) -> ( x e. B |-> ( x .x. X ) ) e. ( R MndHom R ) ) |