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Theorem tposf12

Description: Condition for an injective transposition. (Contributed by NM, 10-Sep-2015)

Ref Expression
Assertion tposf12 ( Rel 𝐴 → ( 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 → tpos 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simpr ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 )
2 relcnv Rel 𝐴
3 cnvf1o ( Rel 𝐴 → ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1-onto 𝐴 )
4 f1of1 ( ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1-onto 𝐴 → ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1 𝐴 )
5 2 3 4 mp2b ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1 𝐴
6 simpl ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → Rel 𝐴 )
7 dfrel2 ( Rel 𝐴 𝐴 = 𝐴 )
8 6 7 sylib ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → 𝐴 = 𝐴 )
9 f1eq3 ( 𝐴 = 𝐴 → ( ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1 𝐴 ↔ ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ) )
10 8 9 syl ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1 𝐴 ↔ ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ) )
11 5 10 mpbii ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 )
12 f1dm ( 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴 )
13 1 12 syl ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → dom 𝐹 = 𝐴 )
14 13 cnveqd ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → dom 𝐹 = 𝐴 )
15 mpteq1 ( dom 𝐹 = 𝐴 → ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) = ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) )
16 f1eq1 ( ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) = ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) → ( ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ↔ ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ) )
17 14 15 16 3syl ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ↔ ( 𝑥 𝐴 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ) )
18 11 17 mpbird ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 )
19 f1co ( ( 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ∧ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) : 𝐴1-1𝐴 ) → ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) : 𝐴1-1𝐵 )
20 1 18 19 syl2anc ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) : 𝐴1-1𝐵 )
21 12 releqd ( 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 → ( Rel dom 𝐹 ↔ Rel 𝐴 ) )
22 21 biimparc ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → Rel dom 𝐹 )
23 dftpos2 ( Rel dom 𝐹 → tpos 𝐹 = ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) )
24 f1eq1 ( tpos 𝐹 = ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) → ( tpos 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ↔ ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) : 𝐴1-1𝐵 ) )
25 22 23 24 3syl ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → ( tpos 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ↔ ( 𝐹 ∘ ( 𝑥 dom 𝐹 { 𝑥 } ) ) : 𝐴1-1𝐵 ) )
26 20 25 mpbird ( ( Rel 𝐴𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) → tpos 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 )
27 26 ex ( Rel 𝐴 → ( 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 → tpos 𝐹 : 𝐴1-1𝐵 ) )