Metamath Proof Explorer

Theorem 3atlem1

Description: Lemma for 3at . (Contributed by NM, 22-Jun-2012)

Ref Expression
Hypotheses 3at.l 
|- .<_ = ( le ` K )
3at.j 
|- .\/ = ( join ` K )
3at.a 
|- A = ( Atoms ` K )
Assertion 3atlem1 
|- ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 3at.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 3at.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 3at.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
4 simp11 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> K e. HL )
5 simp131 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> S e. A )
6 simp132 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> T e. A )
7 simp133 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> U e. A )
8 2 3 hlatjass 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( S .\/ ( T .\/ U ) ) )
9 4 5 6 7 8 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( S .\/ ( T .\/ U ) ) )
10 simp121 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> P e. A )
11 simp122 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> Q e. A )
12 simp123 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> R e. A )
13 2 3 hlatjass 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) = ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) )
14 4 10 11 12 13 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) = ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) )
15 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
16 14 15 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
17 4 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> K e. Lat )
18 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
19 18 3 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
20 10 19 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
21 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ Q e. A /\ R e. A ) -> ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
22 4 11 12 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
23 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ S e. A /\ T e. A ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) )
24 4 5 6 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) )
25 18 3 atbase 
 |-  ( U e. A -> U e. ( Base ` K ) )
26 7 25 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> U e. ( Base ` K ) )
27 18 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( S .\/ T ) e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
28 17 24 26 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
29 18 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ ( Q .\/ R ) e. ( Base ` K ) /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ ( Q .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) <-> ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
30 17 20 22 28 29 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ ( Q .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) <-> ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
31 16 30 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ ( Q .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
32 31 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> P .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
33 32 9 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> P .<_ ( S .\/ ( T .\/ U ) ) )
34 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ T e. A /\ U e. A ) -> ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
35 4 6 7 34 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
36 simp22 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> -. P .<_ ( T .\/ U ) )
37 18 1 2 3 hlexchb2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ S e. A /\ ( T .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) ) -> ( P .<_ ( S .\/ ( T .\/ U ) ) <-> ( P .\/ ( T .\/ U ) ) = ( S .\/ ( T .\/ U ) ) ) )
38 4 10 5 35 36 37 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .<_ ( S .\/ ( T .\/ U ) ) <-> ( P .\/ ( T .\/ U ) ) = ( S .\/ ( T .\/ U ) ) ) )
39 33 38 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ ( T .\/ U ) ) = ( S .\/ ( T .\/ U ) ) )
40 2 3 hlatj12 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) -> ( P .\/ ( T .\/ U ) ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
41 4 10 6 7 40 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ ( T .\/ U ) ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
42 9 39 41 3eqtr2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
43 2 3 hlatj12 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) = ( Q .\/ ( P .\/ R ) ) )
44 4 10 11 12 43 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ ( Q .\/ R ) ) = ( Q .\/ ( P .\/ R ) ) )
45 16 44 42 3brtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .\/ ( P .\/ R ) ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
46 18 3 atbase 
 |-  ( Q e. A -> Q e. ( Base ` K ) )
47 11 46 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> Q e. ( Base ` K ) )
48 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ R e. A ) -> ( P .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
49 4 10 12 48 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ R ) e. ( Base ` K ) )
50 18 3 atbase 
 |-  ( T e. A -> T e. ( Base ` K ) )
51 6 50 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> T e. ( Base ` K ) )
52 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ U e. A ) -> ( P .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
53 4 10 7 52 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ U ) e. ( Base ` K ) )
54 18 2 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ T e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) -> ( T .\/ ( P .\/ U ) ) e. ( Base ` K ) )
55 17 51 53 54 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( T .\/ ( P .\/ U ) ) e. ( Base ` K ) )
56 18 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ R ) e. ( Base ` K ) /\ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) /\ ( P .\/ R ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) <-> ( Q .\/ ( P .\/ R ) ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) )
57 17 47 49 55 56 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) /\ ( P .\/ R ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) <-> ( Q .\/ ( P .\/ R ) ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) )
58 45 57 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) /\ ( P .\/ R ) .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) )
59 58 simpld 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
60 simp23 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> -. Q .<_ ( P .\/ U ) )
61 18 1 2 3 hlexchb2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( Q e. A /\ T e. A /\ ( P .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) -> ( Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) <-> ( Q .\/ ( P .\/ U ) ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) )
62 4 11 6 53 60 61 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .<_ ( T .\/ ( P .\/ U ) ) <-> ( Q .\/ ( P .\/ U ) ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) ) )
63 59 62 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .\/ ( P .\/ U ) ) = ( T .\/ ( P .\/ U ) ) )
64 18 2 latj13 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( Q e. ( Base ` K ) /\ P e. ( Base ` K ) /\ U e. ( Base ` K ) ) ) -> ( Q .\/ ( P .\/ U ) ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) )
65 17 47 20 26 64 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( Q .\/ ( P .\/ U ) ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) )
66 42 63 65 3eqtr2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( S .\/ T ) .\/ U ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) )
67 18 2 3 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
68 4 10 11 67 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
69 18 3 atbase 
 |-  ( R e. A -> R e. ( Base ` K ) )
70 12 69 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> R e. ( Base ` K ) )
71 18 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) /\ R e. ( Base ` K ) /\ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ R .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
72 17 68 70 28 71 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( ( P .\/ Q ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ R .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
73 15 72 mpbird 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) /\ R .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) )
74 73 simprd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> R .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )
75 74 66 breqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> R .<_ ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) )
76 simp21 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> -. R .<_ ( P .\/ Q ) )
77 18 1 2 3 hlexchb2 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( R e. A /\ U e. A /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) /\ -. R .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( R .<_ ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) <-> ( R .\/ ( P .\/ Q ) ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) ) )
78 4 12 7 68 76 77 syl131anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( R .<_ ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) <-> ( R .\/ ( P .\/ Q ) ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) ) )
79 75 78 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( R .\/ ( P .\/ Q ) ) = ( U .\/ ( P .\/ Q ) ) )
80 18 2 latjcom 
 |-  ( ( K e. Lat /\ R e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) -> ( R .\/ ( P .\/ Q ) ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) )
81 17 70 68 80 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( R .\/ ( P .\/ Q ) ) = ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) )
82 66 79 81 3eqtr2rd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) /\ ( S e. A /\ T e. A /\ U e. A ) ) /\ ( -. R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. P .<_ ( T .\/ U ) /\ -. Q .<_ ( P .\/ U ) ) /\ ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) .<_ ( ( S .\/ T ) .\/ U ) ) -> ( ( P .\/ Q ) .\/ R ) = ( ( S .\/ T ) .\/ U ) )