Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
aciunf1.0 |
|- ( ph -> A e. V ) |
2 |
|
aciunf1.1 |
|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. W ) |
3 |
|
ssrab2 |
|- { j e. A | B =/= (/) } C_ A |
4 |
|
ssexg |
|- ( ( { j e. A | B =/= (/) } C_ A /\ A e. V ) -> { j e. A | B =/= (/) } e. _V ) |
5 |
3 1 4
|
sylancr |
|- ( ph -> { j e. A | B =/= (/) } e. _V ) |
6 |
|
rabid |
|- ( j e. { j e. A | B =/= (/) } <-> ( j e. A /\ B =/= (/) ) ) |
7 |
6
|
biimpi |
|- ( j e. { j e. A | B =/= (/) } -> ( j e. A /\ B =/= (/) ) ) |
8 |
7
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B =/= (/) } ) -> ( j e. A /\ B =/= (/) ) ) |
9 |
8
|
simprd |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B =/= (/) } ) -> B =/= (/) ) |
10 |
|
nfrab1 |
|- F/_ j { j e. A | B =/= (/) } |
11 |
8
|
simpld |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B =/= (/) } ) -> j e. A ) |
12 |
11 2
|
syldan |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B =/= (/) } ) -> B e. W ) |
13 |
5 9 10 12
|
aciunf1lem |
|- ( ph -> E. f ( f : U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B -1-1-> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) ) |
14 |
|
eqidd |
|- ( ph -> f = f ) |
15 |
|
nfv |
|- F/ j ph |
16 |
|
nfcv |
|- F/_ j A |
17 |
|
nfrab1 |
|- F/_ j { j e. A | B = (/) } |
18 |
16 17
|
nfdif |
|- F/_ j ( A \ { j e. A | B = (/) } ) |
19 |
|
difrab |
|- ( { j e. A | T. } \ { j e. A | B = (/) } ) = { j e. A | ( T. /\ -. B = (/) ) } |
20 |
16
|
rabtru |
|- { j e. A | T. } = A |
21 |
20
|
difeq1i |
|- ( { j e. A | T. } \ { j e. A | B = (/) } ) = ( A \ { j e. A | B = (/) } ) |
22 |
|
truan |
|- ( ( T. /\ -. B = (/) ) <-> -. B = (/) ) |
23 |
|
df-ne |
|- ( B =/= (/) <-> -. B = (/) ) |
24 |
22 23
|
bitr4i |
|- ( ( T. /\ -. B = (/) ) <-> B =/= (/) ) |
25 |
24
|
rabbii |
|- { j e. A | ( T. /\ -. B = (/) ) } = { j e. A | B =/= (/) } |
26 |
19 21 25
|
3eqtr3i |
|- ( A \ { j e. A | B = (/) } ) = { j e. A | B =/= (/) } |
27 |
26
|
a1i |
|- ( ph -> ( A \ { j e. A | B = (/) } ) = { j e. A | B =/= (/) } ) |
28 |
|
eqidd |
|- ( ph -> B = B ) |
29 |
15 18 10 27 28
|
iuneq12df |
|- ( ph -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) B = U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B ) |
30 |
|
rabid |
|- ( j e. { j e. A | B = (/) } <-> ( j e. A /\ B = (/) ) ) |
31 |
30
|
biimpi |
|- ( j e. { j e. A | B = (/) } -> ( j e. A /\ B = (/) ) ) |
32 |
31
|
adantl |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B = (/) } ) -> ( j e. A /\ B = (/) ) ) |
33 |
32
|
simprd |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B = (/) } ) -> B = (/) ) |
34 |
33
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. j e. { j e. A | B = (/) } B = (/) ) |
35 |
17
|
iunxdif3 |
|- ( A. j e. { j e. A | B = (/) } B = (/) -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) B = U_ j e. A B ) |
36 |
34 35
|
syl |
|- ( ph -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) B = U_ j e. A B ) |
37 |
29 36
|
eqtr3d |
|- ( ph -> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B = U_ j e. A B ) |
38 |
|
eqidd |
|- ( ph -> ( { j } X. B ) = ( { j } X. B ) ) |
39 |
15 18 10 27 38
|
iuneq12df |
|- ( ph -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) ( { j } X. B ) = U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) ) |
40 |
33
|
xpeq2d |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B = (/) } ) -> ( { j } X. B ) = ( { j } X. (/) ) ) |
41 |
|
xp0 |
|- ( { j } X. (/) ) = (/) |
42 |
40 41
|
eqtrdi |
|- ( ( ph /\ j e. { j e. A | B = (/) } ) -> ( { j } X. B ) = (/) ) |
43 |
42
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. j e. { j e. A | B = (/) } ( { j } X. B ) = (/) ) |
44 |
17
|
iunxdif3 |
|- ( A. j e. { j e. A | B = (/) } ( { j } X. B ) = (/) -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ph -> U_ j e. ( A \ { j e. A | B = (/) } ) ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) ) |
46 |
39 45
|
eqtr3d |
|- ( ph -> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) = U_ j e. A ( { j } X. B ) ) |
47 |
14 37 46
|
f1eq123d |
|- ( ph -> ( f : U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B -1-1-> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) <-> f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) ) ) |
48 |
37
|
raleqdv |
|- ( ph -> ( A. k e. U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k <-> A. k e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) ) |
49 |
47 48
|
anbi12d |
|- ( ph -> ( ( f : U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B -1-1-> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) <-> ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) ) ) |
50 |
49
|
exbidv |
|- ( ph -> ( E. f ( f : U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B -1-1-> U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. { j e. A | B =/= (/) } B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) <-> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) ) ) |
51 |
13 50
|
mpbid |
|- ( ph -> E. f ( f : U_ j e. A B -1-1-> U_ j e. A ( { j } X. B ) /\ A. k e. U_ j e. A B ( 2nd ` ( f ` k ) ) = k ) ) |