Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
brdomi |
|- ( X ~<_ Y -> E. f f : X -1-1-> Y ) |
2 |
|
simplr |
|- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> Y e. AC_ A ) |
3 |
|
imassrn |
|- ( f " ( g ` x ) ) C_ ran f |
4 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> f : X -1-1-> Y ) |
5 |
|
f1f |
|- ( f : X -1-1-> Y -> f : X --> Y ) |
6 |
|
frn |
|- ( f : X --> Y -> ran f C_ Y ) |
7 |
4 5 6
|
3syl |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ran f C_ Y ) |
8 |
3 7
|
sstrid |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f " ( g ` x ) ) C_ Y ) |
9 |
|
elmapi |
|- ( g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) |
10 |
9
|
adantl |
|- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> g : A --> ( ~P X \ { (/) } ) ) |
11 |
10
|
ffvelrnda |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ( ~P X \ { (/) } ) ) |
12 |
11
|
eldifad |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) e. ~P X ) |
13 |
12
|
elpwid |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) C_ X ) |
14 |
|
f1dm |
|- ( f : X -1-1-> Y -> dom f = X ) |
15 |
4 14
|
syl |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> dom f = X ) |
16 |
13 15
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) C_ dom f ) |
17 |
|
sseqin2 |
|- ( ( g ` x ) C_ dom f <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = ( g ` x ) ) |
18 |
16 17
|
sylib |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = ( g ` x ) ) |
19 |
|
eldifsni |
|- ( ( g ` x ) e. ( ~P X \ { (/) } ) -> ( g ` x ) =/= (/) ) |
20 |
11 19
|
syl |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( g ` x ) =/= (/) ) |
21 |
18 20
|
eqnetrd |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( dom f i^i ( g ` x ) ) =/= (/) ) |
22 |
|
imadisj |
|- ( ( f " ( g ` x ) ) = (/) <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) = (/) ) |
23 |
22
|
necon3bii |
|- ( ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) <-> ( dom f i^i ( g ` x ) ) =/= (/) ) |
24 |
21 23
|
sylibr |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) |
25 |
8 24
|
jca |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ x e. A ) -> ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) ) |
26 |
25
|
ralrimiva |
|- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> A. x e. A ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) ) |
27 |
|
acni2 |
|- ( ( Y e. AC_ A /\ A. x e. A ( ( f " ( g ` x ) ) C_ Y /\ ( f " ( g ` x ) ) =/= (/) ) ) -> E. k ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) |
28 |
2 26 27
|
syl2anc |
|- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. k ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) |
29 |
|
acnrcl |
|- ( Y e. AC_ A -> A e. _V ) |
30 |
29
|
ad3antlr |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> A e. _V ) |
31 |
|
simp-4l |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> f : X -1-1-> Y ) |
32 |
|
f1f1orn |
|- ( f : X -1-1-> Y -> f : X -1-1-onto-> ran f ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> f : X -1-1-onto-> ran f ) |
34 |
|
simprr |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) |
35 |
3 34
|
sselid |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( k ` x ) e. ran f ) |
36 |
|
f1ocnvfv2 |
|- ( ( f : X -1-1-onto-> ran f /\ ( k ` x ) e. ran f ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) = ( k ` x ) ) |
37 |
33 35 36
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) = ( k ` x ) ) |
38 |
37 34
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) |
39 |
|
f1ocnv |
|- ( f : X -1-1-onto-> ran f -> `' f : ran f -1-1-onto-> X ) |
40 |
|
f1of |
|- ( `' f : ran f -1-1-onto-> X -> `' f : ran f --> X ) |
41 |
33 39 40
|
3syl |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> `' f : ran f --> X ) |
42 |
41 35
|
ffvelrnd |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. X ) |
43 |
13
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( g ` x ) C_ X ) |
44 |
|
f1elima |
|- ( ( f : X -1-1-> Y /\ ( `' f ` ( k ` x ) ) e. X /\ ( g ` x ) C_ X ) -> ( ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) <-> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) ) |
45 |
31 42 43 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( ( f ` ( `' f ` ( k ` x ) ) ) e. ( f " ( g ` x ) ) <-> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) ) |
46 |
38 45
|
mpbid |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ ( x e. A /\ ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) |
47 |
46
|
expr |
|- ( ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) /\ x e. A ) -> ( ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) -> ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) ) |
48 |
47
|
ralimdva |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ k : A --> Y ) -> ( A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) -> A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) ) |
49 |
48
|
impr |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) |
50 |
|
acnlem |
|- ( ( A e. _V /\ A. x e. A ( `' f ` ( k ` x ) ) e. ( g ` x ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) |
51 |
30 49 50
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) /\ ( k : A --> Y /\ A. x e. A ( k ` x ) e. ( f " ( g ` x ) ) ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) |
52 |
28 51
|
exlimddv |
|- ( ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) /\ g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) ) -> E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) |
53 |
52
|
ralrimiva |
|- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) -> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) |
54 |
|
vex |
|- f e. _V |
55 |
54
|
dmex |
|- dom f e. _V |
56 |
14 55
|
eqeltrrdi |
|- ( f : X -1-1-> Y -> X e. _V ) |
57 |
|
isacn |
|- ( ( X e. _V /\ A e. _V ) -> ( X e. AC_ A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) ) |
58 |
56 29 57
|
syl2an |
|- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) -> ( X e. AC_ A <-> A. g e. ( ( ~P X \ { (/) } ) ^m A ) E. h A. x e. A ( h ` x ) e. ( g ` x ) ) ) |
59 |
53 58
|
mpbird |
|- ( ( f : X -1-1-> Y /\ Y e. AC_ A ) -> X e. AC_ A ) |
60 |
59
|
ex |
|- ( f : X -1-1-> Y -> ( Y e. AC_ A -> X e. AC_ A ) ) |
61 |
60
|
exlimiv |
|- ( E. f f : X -1-1-> Y -> ( Y e. AC_ A -> X e. AC_ A ) ) |
62 |
1 61
|
syl |
|- ( X ~<_ Y -> ( Y e. AC_ A -> X e. AC_ A ) ) |