Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elequ2 |
|- ( w = y -> ( x e. w <-> x e. y ) ) |
2 |
1
|
anbi1d |
|- ( w = y -> ( ( x e. w /\ ph ) <-> ( x e. y /\ ph ) ) ) |
3 |
2
|
exbidv |
|- ( w = y -> ( E. x ( x e. w /\ ph ) <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) |
4 |
3
|
bibi2d |
|- ( w = y -> ( ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) <-> ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) ) |
5 |
4
|
albidv |
|- ( w = y -> ( A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) <-> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) ) |
6 |
5
|
exbidv |
|- ( w = y -> ( E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) <-> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) ) |
7 |
6
|
imbi2d |
|- ( w = y -> ( ( A. x E. y A. z ( ph -> z = y ) -> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) <-> ( A. x E. y A. z ( ph -> z = y ) -> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) ) ) |
8 |
|
ax-rep |
|- ( A. x E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) -> E. y A. z ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) ) |
9 |
|
19.3v |
|- ( A. y ph <-> ph ) |
10 |
9
|
imbi1i |
|- ( ( A. y ph -> z = y ) <-> ( ph -> z = y ) ) |
11 |
10
|
albii |
|- ( A. z ( A. y ph -> z = y ) <-> A. z ( ph -> z = y ) ) |
12 |
11
|
exbii |
|- ( E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) <-> E. y A. z ( ph -> z = y ) ) |
13 |
12
|
albii |
|- ( A. x E. y A. z ( A. y ph -> z = y ) <-> A. x E. y A. z ( ph -> z = y ) ) |
14 |
|
nfv |
|- F/ x z e. y |
15 |
|
nfe1 |
|- F/ x E. x ( x e. w /\ A. y ph ) |
16 |
14 15
|
nfbi |
|- F/ x ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) |
17 |
16
|
nfal |
|- F/ x A. z ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) |
18 |
|
nfv |
|- F/ y A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) |
19 |
|
elequ2 |
|- ( y = x -> ( z e. y <-> z e. x ) ) |
20 |
9
|
anbi2i |
|- ( ( x e. w /\ A. y ph ) <-> ( x e. w /\ ph ) ) |
21 |
20
|
exbii |
|- ( E. x ( x e. w /\ A. y ph ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) |
22 |
21
|
a1i |
|- ( y = x -> ( E. x ( x e. w /\ A. y ph ) <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) |
23 |
19 22
|
bibi12d |
|- ( y = x -> ( ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) <-> ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) ) |
24 |
23
|
albidv |
|- ( y = x -> ( A. z ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) <-> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) ) |
25 |
17 18 24
|
cbvexv1 |
|- ( E. y A. z ( z e. y <-> E. x ( x e. w /\ A. y ph ) ) <-> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) |
26 |
8 13 25
|
3imtr3i |
|- ( A. x E. y A. z ( ph -> z = y ) -> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. w /\ ph ) ) ) |
27 |
7 26
|
chvarvv |
|- ( A. x E. y A. z ( ph -> z = y ) -> E. x A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) |
28 |
27
|
19.35ri |
|- E. x ( E. y A. z ( ph -> z = y ) -> A. z ( z e. x <-> E. x ( x e. y /\ ph ) ) ) |