Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cantnfs.s |
|- S = dom ( A CNF B ) |
2 |
|
cantnfs.a |
|- ( ph -> A e. On ) |
3 |
|
cantnfs.b |
|- ( ph -> B e. On ) |
4 |
|
cantnfcl.g |
|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) ) |
5 |
|
cantnfcl.f |
|- ( ph -> F e. S ) |
6 |
|
cantnfval.h |
|- H = seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) |
7 |
|
eqid |
|- { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |
8 |
7 2 3
|
cantnffval |
|- ( ph -> ( A CNF B ) = ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) ) |
9 |
8
|
fveq1d |
|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) ` F ) ) |
10 |
7 2 3
|
cantnfdm |
|- ( ph -> dom ( A CNF B ) = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } ) |
11 |
1 10
|
eqtrid |
|- ( ph -> S = { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } ) |
12 |
5 11
|
eleqtrd |
|- ( ph -> F e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } ) |
13 |
|
ovex |
|- ( f supp (/) ) e. _V |
14 |
|
eqid |
|- OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) |
15 |
14
|
oiexg |
|- ( ( f supp (/) ) e. _V -> OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) e. _V ) |
16 |
13 15
|
mp1i |
|- ( f = F -> OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) e. _V ) |
17 |
|
simpr |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) |
18 |
|
oveq1 |
|- ( f = F -> ( f supp (/) ) = ( F supp (/) ) ) |
19 |
18
|
adantr |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( f supp (/) ) = ( F supp (/) ) ) |
20 |
|
oieq2 |
|- ( ( f supp (/) ) = ( F supp (/) ) -> OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) ) ) |
21 |
19 20
|
syl |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) ) ) |
22 |
17 21
|
eqtrd |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> h = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) ) ) |
23 |
22 4
|
eqtr4di |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> h = G ) |
24 |
23
|
fveq1d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( h ` k ) = ( G ` k ) ) |
25 |
24
|
oveq2d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( A ^o ( h ` k ) ) = ( A ^o ( G ` k ) ) ) |
26 |
|
simpl |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> f = F ) |
27 |
26 24
|
fveq12d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( f ` ( h ` k ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) ) |
28 |
25 27
|
oveq12d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) = ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) ) |
29 |
28
|
oveq1d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) = ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |
30 |
29
|
mpoeq3dv |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ) |
31 |
|
eqid |
|- (/) = (/) |
32 |
|
seqomeq12 |
|- ( ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) = ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) /\ (/) = (/) ) -> seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ) |
33 |
30 31 32
|
sylancl |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ) |
34 |
33 6
|
eqtr4di |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = H ) |
35 |
23
|
dmeqd |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> dom h = dom G ) |
36 |
34 35
|
fveq12d |
|- ( ( f = F /\ h = OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) ) -> ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) = ( H ` dom G ) ) |
37 |
16 36
|
csbied |
|- ( f = F -> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) = ( H ` dom G ) ) |
38 |
|
eqid |
|- ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) = ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) |
39 |
|
fvex |
|- ( H ` dom G ) e. _V |
40 |
37 38 39
|
fvmpt |
|- ( F e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } -> ( ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) ` F ) = ( H ` dom G ) ) |
41 |
12 40
|
syl |
|- ( ph -> ( ( f e. { g e. ( A ^m B ) | g finSupp (/) } |-> [_ OrdIso ( _E , ( f supp (/) ) ) / h ]_ ( seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( h ` k ) ) .o ( f ` ( h ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom h ) ) ` F ) = ( H ` dom G ) ) |
42 |
9 41
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( H ` dom G ) ) |