Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cantnfs.s |
|- S = dom ( A CNF B ) |
2 |
|
cantnfs.a |
|- ( ph -> A e. On ) |
3 |
|
cantnfs.b |
|- ( ph -> B e. On ) |
4 |
|
cantnfcl.g |
|- G = OrdIso ( _E , ( F supp (/) ) ) |
5 |
|
cantnfcl.f |
|- ( ph -> F e. S ) |
6 |
|
cantnfval.h |
|- H = seqom ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) |
7 |
1 2 3 4 5 6
|
cantnfval |
|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( H ` dom G ) ) |
8 |
|
ssid |
|- dom G C_ dom G |
9 |
1 2 3 4 5
|
cantnfcl |
|- ( ph -> ( _E We ( F supp (/) ) /\ dom G e. _om ) ) |
10 |
9
|
simprd |
|- ( ph -> dom G e. _om ) |
11 |
|
sseq1 |
|- ( u = (/) -> ( u C_ dom G <-> (/) C_ dom G ) ) |
12 |
|
fveq2 |
|- ( u = (/) -> ( H ` u ) = ( H ` (/) ) ) |
13 |
|
0ex |
|- (/) e. _V |
14 |
6
|
seqom0g |
|- ( (/) e. _V -> ( H ` (/) ) = (/) ) |
15 |
13 14
|
ax-mp |
|- ( H ` (/) ) = (/) |
16 |
12 15
|
eqtrdi |
|- ( u = (/) -> ( H ` u ) = (/) ) |
17 |
|
fveq2 |
|- ( u = (/) -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) ) |
18 |
|
eqid |
|- seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) = seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) |
19 |
18
|
seqom0g |
|- ( (/) e. _V -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/) ) |
20 |
13 19
|
ax-mp |
|- ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` (/) ) = (/) |
21 |
17 20
|
eqtrdi |
|- ( u = (/) -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = (/) ) |
22 |
16 21
|
eqeq12d |
|- ( u = (/) -> ( ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> (/) = (/) ) ) |
23 |
11 22
|
imbi12d |
|- ( u = (/) -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) ) ) |
24 |
23
|
imbi2d |
|- ( u = (/) -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) ) ) ) |
25 |
|
sseq1 |
|- ( u = v -> ( u C_ dom G <-> v C_ dom G ) ) |
26 |
|
fveq2 |
|- ( u = v -> ( H ` u ) = ( H ` v ) ) |
27 |
|
fveq2 |
|- ( u = v -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) |
28 |
26 27
|
eqeq12d |
|- ( u = v -> ( ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
29 |
25 28
|
imbi12d |
|- ( u = v -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) ) |
30 |
29
|
imbi2d |
|- ( u = v -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) ) ) |
31 |
|
sseq1 |
|- ( u = suc v -> ( u C_ dom G <-> suc v C_ dom G ) ) |
32 |
|
fveq2 |
|- ( u = suc v -> ( H ` u ) = ( H ` suc v ) ) |
33 |
|
fveq2 |
|- ( u = suc v -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) |
34 |
32 33
|
eqeq12d |
|- ( u = suc v -> ( ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) |
35 |
31 34
|
imbi12d |
|- ( u = suc v -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) |
36 |
35
|
imbi2d |
|- ( u = suc v -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) ) |
37 |
|
sseq1 |
|- ( u = dom G -> ( u C_ dom G <-> dom G C_ dom G ) ) |
38 |
|
fveq2 |
|- ( u = dom G -> ( H ` u ) = ( H ` dom G ) ) |
39 |
|
fveq2 |
|- ( u = dom G -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) |
40 |
38 39
|
eqeq12d |
|- ( u = dom G -> ( ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) <-> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) |
41 |
37 40
|
imbi12d |
|- ( u = dom G -> ( ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) <-> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) ) |
42 |
41
|
imbi2d |
|- ( u = dom G -> ( ( ph -> ( u C_ dom G -> ( H ` u ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` u ) ) ) <-> ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) ) ) |
43 |
|
eqid |
|- (/) = (/) |
44 |
43
|
2a1i |
|- ( ph -> ( (/) C_ dom G -> (/) = (/) ) ) |
45 |
|
sssucid |
|- v C_ suc v |
46 |
|
sstr |
|- ( ( v C_ suc v /\ suc v C_ dom G ) -> v C_ dom G ) |
47 |
45 46
|
mpan |
|- ( suc v C_ dom G -> v C_ dom G ) |
48 |
47
|
imim1i |
|- ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
49 |
|
oveq2 |
|- ( ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
50 |
6
|
seqomsuc |
|- ( v e. _om -> ( H ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) ) |
51 |
50
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( H ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) ) |
52 |
18
|
seqomsuc |
|- ( v e. _om -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
53 |
52
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
54 |
|
ssv |
|- dom G C_ _V |
55 |
|
ssv |
|- On C_ _V |
56 |
|
resmpo |
|- ( ( dom G C_ _V /\ On C_ _V ) -> ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) = ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ) |
57 |
54 55 56
|
mp2an |
|- ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) = ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |
58 |
57
|
oveqi |
|- ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) |
59 |
|
simprr |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> suc v C_ dom G ) |
60 |
|
vex |
|- v e. _V |
61 |
60
|
sucid |
|- v e. suc v |
62 |
61
|
a1i |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> v e. suc v ) |
63 |
59 62
|
sseldd |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> v e. dom G ) |
64 |
18
|
cantnfvalf |
|- seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) : _om --> On |
65 |
64
|
ffvelrni |
|- ( v e. _om -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On ) |
66 |
65
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On ) |
67 |
|
ovres |
|- ( ( v e. dom G /\ ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) e. On ) -> ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
68 |
63 66 67
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( v ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) |` ( dom G X. On ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
69 |
58 68
|
eqtr3id |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( v ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
70 |
53 69
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) |
71 |
51 70
|
eqeq12d |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) <-> ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( H ` v ) ) = ( v ( k e. _V , z e. _V |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) ) |
72 |
49 71
|
syl5ibr |
|- ( ( ph /\ ( v e. _om /\ suc v C_ dom G ) ) -> ( ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) |
73 |
72
|
expr |
|- ( ( ph /\ v e. _om ) -> ( suc v C_ dom G -> ( ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) |
74 |
73
|
a2d |
|- ( ( ph /\ v e. _om ) -> ( ( suc v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) |
75 |
48 74
|
syl5 |
|- ( ( ph /\ v e. _om ) -> ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) |
76 |
75
|
expcom |
|- ( v e. _om -> ( ph -> ( ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) ) |
77 |
76
|
a2d |
|- ( v e. _om -> ( ( ph -> ( v C_ dom G -> ( H ` v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` v ) ) ) -> ( ph -> ( suc v C_ dom G -> ( H ` suc v ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` suc v ) ) ) ) ) |
78 |
24 30 36 42 44 77
|
finds |
|- ( dom G e. _om -> ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) ) |
79 |
10 78
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mpcom |
|- ( ph -> ( dom G C_ dom G -> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) ) |
80 |
8 79
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mpi |
|- ( ph -> ( H ` dom G ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) |
81 |
7 80
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eqtrd |
|- ( ph -> ( ( A CNF B ) ` F ) = ( seqom ( ( k e. dom G , z e. On |-> ( ( ( A ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) ) +o z ) ) , (/) ) ` dom G ) ) |