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Theorem cdleme17b

Description: Lemma leading to cdleme17c . (Contributed by NM, 11-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme17.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdleme17.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdleme17.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
cdleme17.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdleme17.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdleme17.u 
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdleme17.f 
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme17.g 
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
cdleme17.c 
|- C = ( ( P .\/ S ) ./\ W )
Assertion cdleme17b 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. C .<_ ( P .\/ Q ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme17.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
2 cdleme17.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
3 cdleme17.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 cdleme17.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdleme17.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdleme17.u 
 |-  U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
7 cdleme17.f 
 |-  F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
8 cdleme17.g 
 |-  G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) )
9 cdleme17.c 
 |-  C = ( ( P .\/ S ) ./\ W )
10 simp33 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) )
11 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
12 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. HL )
13 12 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> K e. Lat )
14 simpl32 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S e. A )
15 11 4 atbase 
 |-  ( S e. A -> S e. ( Base ` K ) )
16 14 15 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S e. ( Base ` K ) )
17 simpl2l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. A )
18 11 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ S e. A ) -> ( P .\/ S ) e. ( Base ` K ) )
19 12 17 14 18 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ S ) e. ( Base ` K ) )
20 simpl31 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> Q e. A )
21 11 2 4 hlatjcl 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
22 12 17 20 21 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) )
23 1 2 4 hlatlej2 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ S e. A ) -> S .<_ ( P .\/ S ) )
24 12 17 14 23 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S .<_ ( P .\/ S ) )
25 simpl1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> W e. H )
26 simpl2r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> -. P .<_ W )
27 1 2 3 4 5 9 cdleme8 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ S e. A ) -> ( P .\/ C ) = ( P .\/ S ) )
28 12 25 17 26 14 27 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ C ) = ( P .\/ S ) )
29 1 2 4 hlatlej1 
 |-  ( ( K e. HL /\ P e. A /\ Q e. A ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
30 12 17 20 29 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P .<_ ( P .\/ Q ) )
31 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> C .<_ ( P .\/ Q ) )
32 11 4 atbase 
 |-  ( P e. A -> P e. ( Base ` K ) )
33 17 32 syl 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> P e. ( Base ` K ) )
34 11 2 3 4 5 9 cdleme9b 
 |-  ( ( K e. HL /\ ( P e. A /\ S e. A /\ W e. H ) ) -> C e. ( Base ` K ) )
35 12 17 14 25 34 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> C e. ( Base ` K ) )
36 11 1 2 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( P e. ( Base ` K ) /\ C e. ( Base ` K ) /\ ( P .\/ Q ) e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ C ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
37 13 33 35 22 36 syl13anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( P .<_ ( P .\/ Q ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( P .\/ C ) .<_ ( P .\/ Q ) ) )
38 30 31 37 mpbi2and 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ C ) .<_ ( P .\/ Q ) )
39 28 38 eqbrtrrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( P .\/ S ) .<_ ( P .\/ Q ) )
40 11 1 13 16 19 22 24 39 lattrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) /\ C .<_ ( P .\/ Q ) ) -> S .<_ ( P .\/ Q ) )
41 10 40 mtand 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ S e. A /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) ) -> -. C .<_ ( P .\/ Q ) )