Metamath Proof Explorer


Theorem cdleme17b

Description: Lemma leading to cdleme17c . (Contributed by NM, 11-Oct-2012)

Ref Expression
Hypotheses cdleme17.l = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme17.j = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme17.m = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme17.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme17.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme17.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
cdleme17.f 𝐹 = ( ( 𝑆 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
cdleme17.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐹 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
cdleme17.c 𝐶 = ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 )
Assertion cdleme17b ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme17.l = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme17.j = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme17.m = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme17.a 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme17.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme17.u 𝑈 = ( ( 𝑃 𝑄 ) 𝑊 )
7 cdleme17.f 𝐹 = ( ( 𝑆 𝑈 ) ( 𝑄 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
8 cdleme17.g 𝐺 = ( ( 𝑃 𝑄 ) ( 𝐹 ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 ) ) )
9 cdleme17.c 𝐶 = ( ( 𝑃 𝑆 ) 𝑊 )
10 simp33 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) )
11 eqid ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 )
12 simpl1l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝐾 ∈ HL )
13 12 hllatd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝐾 ∈ Lat )
14 simpl32 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑆𝐴 )
15 11 4 atbase ( 𝑆𝐴𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
16 14 15 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑆 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
17 simpl2l ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑃𝐴 )
18 11 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴 ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
19 12 17 14 18 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝑆 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
20 simpl31 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑄𝐴 )
21 11 2 4 hlatjcl ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
22 12 17 20 21 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
23 1 2 4 hlatlej2 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑆𝐴 ) → 𝑆 ( 𝑃 𝑆 ) )
24 12 17 14 23 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑆 ( 𝑃 𝑆 ) )
25 simpl1r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑊𝐻 )
26 simpl2r ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ¬ 𝑃 𝑊 )
27 1 2 3 4 5 9 cdleme8 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ 𝑆𝐴 ) → ( 𝑃 𝐶 ) = ( 𝑃 𝑆 ) )
28 12 25 17 26 14 27 syl221anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝐶 ) = ( 𝑃 𝑆 ) )
29 1 2 4 hlatlej1 ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴 ) → 𝑃 ( 𝑃 𝑄 ) )
30 12 17 20 29 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑃 ( 𝑃 𝑄 ) )
31 simpr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) )
32 11 4 atbase ( 𝑃𝐴𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
33 17 32 syl ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
34 11 2 3 4 5 9 cdleme9b ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃𝐴𝑆𝐴𝑊𝐻 ) ) → 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
35 12 17 14 25 34 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) )
36 11 1 2 latjle12 ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝐶 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ ( 𝑃 𝑄 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑃 𝐶 ) ( 𝑃 𝑄 ) ) )
37 13 33 35 22 36 syl13anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( ( 𝑃 ( 𝑃 𝑄 ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) ↔ ( 𝑃 𝐶 ) ( 𝑃 𝑄 ) ) )
38 30 31 37 mpbi2and ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝐶 ) ( 𝑃 𝑄 ) )
39 28 38 eqbrtrrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → ( 𝑃 𝑆 ) ( 𝑃 𝑄 ) )
40 11 1 13 16 19 22 24 39 lattrd ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) ∧ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) ) → 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) )
41 10 40 mtand ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊 ) ∧ ( 𝑄𝐴𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ( 𝑃 𝑄 ) ) ) → ¬ 𝐶 ( 𝑃 𝑄 ) )