Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme18d.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme18d.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme18d.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme18d.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme18d.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme18d.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme18d.f |
|- F = ( ( S .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme18d.g |
|- G = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
9 |
|
cdleme18d.d |
|- D = ( ( T .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
10 |
|
cdleme18d.e |
|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
11 |
|
eleq1 |
|- ( R = P -> ( R e. A <-> P e. A ) ) |
12 |
|
breq1 |
|- ( R = P -> ( R .<_ W <-> P .<_ W ) ) |
13 |
12
|
notbid |
|- ( R = P -> ( -. R .<_ W <-> -. P .<_ W ) ) |
14 |
11 13
|
anbi12d |
|- ( R = P -> ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) <-> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) ) |
15 |
14
|
3anbi1d |
|- ( R = P -> ( ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) <-> ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) ) ) |
16 |
15
|
3anbi2d |
|- ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) ) ) |
17 |
|
simp11 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
18 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
19 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A ) |
20 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
21 |
|
simp322 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
22 |
|
eqid |
|- ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
23 |
1 2 3 4 5 6 7 22
|
cdleme17d1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = Q ) |
24 |
17 18 19 20 21 23
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = Q ) |
25 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
26 |
|
simp323 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
27 |
|
eqid |
|- ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
28 |
1 2 3 4 5 6 9 27
|
cdleme17d1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ Q e. A /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = Q ) |
29 |
17 18 19 25 26 28
|
syl131anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) = Q ) |
30 |
24 29
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) |
31 |
16 30
|
syl6bi |
|- ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
32 |
8 10
|
eqeq12i |
|- ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) |
33 |
|
oveq1 |
|- ( R = P -> ( R .\/ S ) = ( P .\/ S ) ) |
34 |
33
|
oveq1d |
|- ( R = P -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) |
35 |
34
|
oveq2d |
|- ( R = P -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) = ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
36 |
35
|
oveq2d |
|- ( R = P -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) ) |
37 |
|
oveq1 |
|- ( R = P -> ( R .\/ T ) = ( P .\/ T ) ) |
38 |
37
|
oveq1d |
|- ( R = P -> ( ( R .\/ T ) ./\ W ) = ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) |
39 |
38
|
oveq2d |
|- ( R = P -> ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) = ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
40 |
39
|
oveq2d |
|- ( R = P -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) |
41 |
36 40
|
eqeq12d |
|- ( R = P -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
42 |
32 41
|
syl5bb |
|- ( R = P -> ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( P .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( P .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
43 |
31 42
|
sylibrd |
|- ( R = P -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E ) ) |
44 |
43
|
com12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = P -> G = E ) ) |
45 |
|
eleq1 |
|- ( R = Q -> ( R e. A <-> Q e. A ) ) |
46 |
|
breq1 |
|- ( R = Q -> ( R .<_ W <-> Q .<_ W ) ) |
47 |
46
|
notbid |
|- ( R = Q -> ( -. R .<_ W <-> -. Q .<_ W ) ) |
48 |
45 47
|
anbi12d |
|- ( R = Q -> ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) <-> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) ) |
49 |
48
|
3anbi1d |
|- ( R = Q -> ( ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) <-> ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) ) ) |
50 |
|
breq1 |
|- ( R = Q -> ( R .<_ ( P .\/ Q ) <-> Q .<_ ( P .\/ Q ) ) ) |
51 |
50
|
3anbi1d |
|- ( R = Q -> ( ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) <-> ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) ) ) |
52 |
51
|
3anbi2d |
|- ( R = Q -> ( ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) <-> ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) ) |
53 |
49 52
|
3anbi23d |
|- ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) <-> ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) ) ) |
54 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL ) |
55 |
|
simp11r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> W e. H ) |
56 |
|
simp12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) |
57 |
|
simp21 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) |
58 |
|
simp22 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) |
59 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
60 |
|
simp322 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. S .<_ ( P .\/ Q ) ) |
61 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) |
62 |
|
eqid |
|- ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
63 |
1 2 3 4 5 6 7 62
|
cdleme18c |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = P ) |
64 |
54 55 56 57 58 59 60 61 63
|
syl233anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = P ) |
65 |
|
simp23 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) |
66 |
|
simp323 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) |
67 |
|
eqid |
|- ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
68 |
1 2 3 4 5 6 9 67
|
cdleme18c |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = P ) |
69 |
54 55 56 57 65 59 66 61 68
|
syl233anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) = P ) |
70 |
64 69
|
eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( Q .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) |
71 |
53 70
|
syl6bi |
|- ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
72 |
|
oveq1 |
|- ( R = Q -> ( R .\/ S ) = ( Q .\/ S ) ) |
73 |
72
|
oveq1d |
|- ( R = Q -> ( ( R .\/ S ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) |
74 |
73
|
oveq2d |
|- ( R = Q -> ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) = ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) |
75 |
74
|
oveq2d |
|- ( R = Q -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) ) |
76 |
|
oveq1 |
|- ( R = Q -> ( R .\/ T ) = ( Q .\/ T ) ) |
77 |
76
|
oveq1d |
|- ( R = Q -> ( ( R .\/ T ) ./\ W ) = ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) |
78 |
77
|
oveq2d |
|- ( R = Q -> ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) = ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) |
79 |
78
|
oveq2d |
|- ( R = Q -> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) |
80 |
75 79
|
eqeq12d |
|- ( R = Q -> ( ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( R .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( R .\/ T ) ./\ W ) ) ) <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
81 |
32 80
|
syl5bb |
|- ( R = Q -> ( G = E <-> ( ( P .\/ Q ) ./\ ( F .\/ ( ( Q .\/ S ) ./\ W ) ) ) = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( Q .\/ T ) ./\ W ) ) ) ) ) |
82 |
71 81
|
sylibrd |
|- ( R = Q -> ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E ) ) |
83 |
82
|
com12 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = Q -> G = E ) ) |
84 |
|
simp11l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> K e. HL ) |
85 |
|
simp321 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> R .<_ ( P .\/ Q ) ) |
86 |
|
simp33 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) |
87 |
|
simp12l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P e. A ) |
88 |
|
simp13l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> Q e. A ) |
89 |
|
simp31 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> P =/= Q ) |
90 |
|
simp21l |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> R e. A ) |
91 |
|
simp21r |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> -. R .<_ W ) |
92 |
1 2 4
|
cdleme0nex |
|- ( ( ( K e. HL /\ R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ P =/= Q ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( R = P \/ R = Q ) ) |
93 |
84 85 86 87 88 89 90 91 92
|
syl332anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> ( R = P \/ R = Q ) ) |
94 |
44 83 93
|
mpjaod |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) /\ ( ( R e. A /\ -. R .<_ W ) /\ ( S e. A /\ -. S .<_ W ) /\ ( T e. A /\ -. T .<_ W ) ) /\ ( P =/= Q /\ ( R .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. S .<_ ( P .\/ Q ) /\ -. T .<_ ( P .\/ Q ) ) /\ -. E. r e. A ( -. r .<_ W /\ ( P .\/ r ) = ( Q .\/ r ) ) ) ) -> G = E ) |