Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cdleme1.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
2 |
|
cdleme1.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
3 |
|
cdleme1.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
4 |
|
cdleme1.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
5 |
|
cdleme1.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
6 |
|
cdleme1.u |
|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W ) |
7 |
|
cdleme1.f |
|- F = ( ( R .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) ) |
8 |
|
cdleme1.b |
|- B = ( Base ` K ) |
9 |
|
hllat |
|- ( K e. HL -> K e. Lat ) |
10 |
9
|
ad2antrr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> K e. Lat ) |
11 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> R e. A ) |
12 |
8 4
|
atbase |
|- ( R e. A -> R e. B ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> R e. B ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 8
|
cdleme0aa |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ P e. A /\ Q e. A ) -> U e. B ) |
15 |
14
|
3adant3r3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> U e. B ) |
16 |
8 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ R e. B /\ U e. B ) -> ( R .\/ U ) e. B ) |
17 |
10 13 15 16
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( R .\/ U ) e. B ) |
18 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> Q e. A ) |
19 |
8 4
|
atbase |
|- ( Q e. A -> Q e. B ) |
20 |
18 19
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> Q e. B ) |
21 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> P e. A ) |
22 |
8 4
|
atbase |
|- ( P e. A -> P e. B ) |
23 |
21 22
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> P e. B ) |
24 |
8 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ P e. B /\ R e. B ) -> ( P .\/ R ) e. B ) |
25 |
10 23 13 24
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( P .\/ R ) e. B ) |
26 |
8 5
|
lhpbase |
|- ( W e. H -> W e. B ) |
27 |
26
|
ad2antlr |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> W e. B ) |
28 |
8 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( P .\/ R ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( P .\/ R ) ./\ W ) e. B ) |
29 |
10 25 27 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( ( P .\/ R ) ./\ W ) e. B ) |
30 |
8 2
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Q e. B /\ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) e. B ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) e. B ) |
31 |
10 20 29 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) e. B ) |
32 |
8 3
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( R .\/ U ) e. B /\ ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) e. B ) -> ( ( R .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) ) e. B ) |
33 |
10 17 31 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> ( ( R .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ R ) ./\ W ) ) ) e. B ) |
34 |
7 33
|
eqeltrid |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ Q e. A /\ R e. A ) ) -> F e. B ) |