cdlemk56

Description: Part of Lemma K of Crawley p. 118. Line 11, p. 120, "tau is in Delta" i.e. U is a trace-preserving endormorphism. (Contributed by NM, 31-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
	cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
	cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
	cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
	cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
	cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
	cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
	cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
	cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
	cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
	cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
	cdlemk5.u	\|- U = ( g e. T \|-> if ( F = N , g , X ) )
	cdlemk5.e	\|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion	cdlemk56	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk5.b	\|- B = ( Base ` K )
2		cdlemk5.l	\|- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemk5.j	\|- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemk5.m	\|- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemk5.a	\|- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemk5.h	\|- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemk5.t	\|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
8		cdlemk5.r	\|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
9		cdlemk5.z	\|- Z = ( ( P .\/ ( R ` b ) ) ./\ ( ( N ` P ) .\/ ( R ` ( b o. `' F ) ) ) )
10		cdlemk5.y	\|- Y = ( ( P .\/ ( R ` g ) ) ./\ ( Z .\/ ( R ` ( g o. `' b ) ) ) )
11		cdlemk5.x	\|- X = ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) )
12		cdlemk5.u	\|- U = ( g e. T \|-> if ( F = N , g , X ) )
13		cdlemk5.e	\|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
14		simp11	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
15		vex	\|- g e. _V
16		riotaex	\|- ( iota_ z e. T A. b e. T ( ( b =/= ( _I \|` B ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` F ) /\ ( R ` b ) =/= ( R ` g ) ) -> ( z ` P ) = Y ) ) e. _V
17	11 16	eqeltri	\|- X e. _V
18	15 17	ifex	\|- if ( F = N , g , X ) e. _V
19	18	rgenw	\|- A. g e. T if ( F = N , g , X ) e. _V
20	12	fnmpt	\|- ( A. g e. T if ( F = N , g , X ) e. _V -> U Fn T )
21	19 20	mp1i	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U Fn T )
22		simpl11	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
23		simpl2	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
24		simpl12	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> F e. T )
25		simpl13	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> N e. T )
26		simpr	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> f e. T )
27		simpl3	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
28	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemk35u	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) ) /\ ( F e. T /\ N e. T /\ f e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` f ) e. T )
29	22 23 24 25 26 27 28	syl231anc	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( U ` f ) e. T )
30	29	ralrimiva	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> A. f e. T ( U ` f ) e. T )
31		ffnfv	\|- ( U : T --> T <-> ( U Fn T /\ A. f e. T ( U ` f ) e. T ) )
32	21 30 31	sylanbrc	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U : T --> T )
33		simp11	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) )
34		simp12	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( R ` F ) = ( R ` N ) )
35		simp2	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> f e. T )
36		simp3	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> h e. T )
37		simp13	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
38	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemk55u	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ f e. T /\ h e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( U ` ( f o. h ) ) = ( ( U ` f ) o. ( U ` h ) ) )
39	33 34 35 36 37 38	syl131anc	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T /\ h e. T ) -> ( U ` ( f o. h ) ) = ( ( U ` f ) o. ( U ` h ) ) )
40		simpl1	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) )
41	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	cdlemk39u	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ f e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( R ` ( U ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
42	40 23 26 27 41	syl121anc	\|- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) /\ f e. T ) -> ( R ` ( U ` f ) ) .<_ ( R ` f ) )
43	2 6 7 8 13 14 32 39 42	istendod	\|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ N e. T ) /\ ( R ` F ) = ( R ` N ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> U e. E )

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Theorem cdlemk56

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