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Theorem cdlemk8

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses cdlemk.b 
|- B = ( Base ` K )
cdlemk.l 
|- .<_ = ( le ` K )
cdlemk.j 
|- .\/ = ( join ` K )
cdlemk.a 
|- A = ( Atoms ` K )
cdlemk.h 
|- H = ( LHyp ` K )
cdlemk.t 
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemk.r 
|- R = ( ( trL ` K ) ` W )
cdlemk.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
Assertion cdlemk8 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdlemk.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 cdlemk.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 cdlemk.j 
 |-  .\/ = ( join ` K )
4 cdlemk.a 
 |-  A = ( Atoms ` K )
5 cdlemk.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
6 cdlemk.t 
 |-  T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7 cdlemk.r 
 |-  R = ( ( trL ` K ) ` W )
8 cdlemk.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
9 coass 
 |-  ( ( X o. `' G ) o. G ) = ( X o. ( `' G o. G ) )
10 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
11 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G e. T )
12 1 5 6 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B )
13 10 11 12 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> G : B -1-1-onto-> B )
14 f1ococnv1 
 |-  ( G : B -1-1-onto-> B -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) )
16 15 coeq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( `' G o. G ) ) = ( X o. ( _I |` B ) ) )
17 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X e. T )
18 1 5 6 ltrn1o 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T ) -> X : B -1-1-onto-> B )
19 10 17 18 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> X : B -1-1-onto-> B )
20 f1of 
 |-  ( X : B -1-1-onto-> B -> X : B --> B )
21 fcoi1 
 |-  ( X : B --> B -> ( X o. ( _I |` B ) ) = X )
22 19 20 21 3syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( _I |` B ) ) = X )
23 16 22 eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. ( `' G o. G ) ) = X )
24 9 23 eqtrid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( X o. `' G ) o. G ) = X )
25 24 fveq1d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( X ` P ) )
26 5 6 ltrncnv 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> `' G e. T )
27 10 11 26 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> `' G e. T )
28 5 6 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. T /\ `' G e. T ) -> ( X o. `' G ) e. T )
29 10 17 27 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X o. `' G ) e. T )
30 simp3l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> P e. A )
31 2 4 5 6 ltrncoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( X o. `' G ) e. T /\ G e. T ) /\ P e. A ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
32 10 29 11 30 31 syl121anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( ( X o. `' G ) o. G ) ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
33 25 32 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( X ` P ) = ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) )
34 33 oveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
35 2 4 5 6 ltrnel 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
36 35 3adant2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) )
37 2 3 4 5 6 7 trljat1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X o. `' G ) e. T /\ ( ( G ` P ) e. A /\ -. ( G ` P ) .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
38 10 29 36 37 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( ( X o. `' G ) ` ( G ` P ) ) ) )
39 34 38 eqtr4d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( G e. T /\ X e. T ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) ) -> ( ( G ` P ) .\/ ( X ` P ) ) = ( ( G ` P ) .\/ ( R ` ( X o. `' G ) ) ) )