Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
cnmptcom.3 |
|- ( ph -> J e. ( TopOn ` X ) ) |
2 |
|
cnmptcom.4 |
|- ( ph -> K e. ( TopOn ` Y ) ) |
3 |
|
cnmptcom.6 |
|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) |
4 |
|
txtopon |
|- ( ( J e. ( TopOn ` X ) /\ K e. ( TopOn ` Y ) ) -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
5 |
1 2 4
|
syl2anc |
|- ( ph -> ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) ) |
6 |
|
cntop2 |
|- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) -> L e. Top ) |
7 |
3 6
|
syl |
|- ( ph -> L e. Top ) |
8 |
|
toptopon2 |
|- ( L e. Top <-> L e. ( TopOn ` U. L ) ) |
9 |
7 8
|
sylib |
|- ( ph -> L e. ( TopOn ` U. L ) ) |
10 |
|
cnf2 |
|- ( ( ( J tX K ) e. ( TopOn ` ( X X. Y ) ) /\ L e. ( TopOn ` U. L ) /\ ( x e. X , y e. Y |-> A ) e. ( ( J tX K ) Cn L ) ) -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L ) |
11 |
5 9 3 10
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L ) |
12 |
|
eqid |
|- ( x e. X , y e. Y |-> A ) = ( x e. X , y e. Y |-> A ) |
13 |
12
|
fmpo |
|- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L ) |
14 |
|
ralcom |
|- ( A. x e. X A. y e. Y A e. U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L ) |
15 |
13 14
|
bitr3i |
|- ( ( x e. X , y e. Y |-> A ) : ( X X. Y ) --> U. L <-> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L ) |
16 |
11 15
|
sylib |
|- ( ph -> A. y e. Y A. x e. X A e. U. L ) |
17 |
|
eqid |
|- ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( y e. Y , x e. X |-> A ) |
18 |
17
|
fmpo |
|- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L ) |
19 |
16 18
|
sylib |
|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) : ( Y X. X ) --> U. L ) |
20 |
19
|
ffnd |
|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) ) |
21 |
|
fnov |
|- ( ( y e. Y , x e. X |-> A ) Fn ( Y X. X ) <-> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
22 |
20 21
|
sylib |
|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
23 |
|
nfcv |
|- F/_ y z |
24 |
|
nfcv |
|- F/_ x z |
25 |
|
nfcv |
|- F/_ x w |
26 |
|
nfv |
|- F/ y ph |
27 |
|
nfcv |
|- F/_ y x |
28 |
|
nfmpo2 |
|- F/_ y ( x e. X , y e. Y |-> A ) |
29 |
27 28 23
|
nfov |
|- F/_ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) |
30 |
|
nfmpo1 |
|- F/_ y ( y e. Y , x e. X |-> A ) |
31 |
23 30 27
|
nfov |
|- F/_ y ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) |
32 |
29 31
|
nfeq |
|- F/ y ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) |
33 |
26 32
|
nfim |
|- F/ y ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) |
34 |
|
nfv |
|- F/ x ph |
35 |
|
nfmpo1 |
|- F/_ x ( x e. X , y e. Y |-> A ) |
36 |
25 35 24
|
nfov |
|- F/_ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) |
37 |
|
nfmpo2 |
|- F/_ x ( y e. Y , x e. X |-> A ) |
38 |
24 37 25
|
nfov |
|- F/_ x ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) |
39 |
36 38
|
nfeq |
|- F/ x ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) |
40 |
34 39
|
nfim |
|- F/ x ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) |
41 |
|
oveq2 |
|- ( y = z -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) |
42 |
|
oveq1 |
|- ( y = z -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) |
43 |
41 42
|
eqeq12d |
|- ( y = z -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) |
44 |
43
|
imbi2d |
|- ( y = z -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) ) |
45 |
|
oveq1 |
|- ( x = w -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) |
46 |
|
oveq2 |
|- ( x = w -> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) |
47 |
45 46
|
eqeq12d |
|- ( x = w -> ( ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) <-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
48 |
47
|
imbi2d |
|- ( x = w -> ( ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) <-> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) ) |
49 |
|
rsp2 |
|- ( A. y e. Y A. x e. X A e. U. L -> ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> A e. U. L ) ) |
50 |
49 16
|
syl11 |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> A e. U. L ) ) |
51 |
12
|
ovmpt4g |
|- ( ( x e. X /\ y e. Y /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A ) |
52 |
51
|
3com12 |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = A ) |
53 |
17
|
ovmpt4g |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) = A ) |
54 |
52 53
|
eqtr4d |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X /\ A e. U. L ) -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) |
55 |
54
|
3expia |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( A e. U. L -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) |
56 |
50 55
|
syld |
|- ( ( y e. Y /\ x e. X ) -> ( ph -> ( x ( x e. X , y e. Y |-> A ) y ) = ( y ( y e. Y , x e. X |-> A ) x ) ) ) |
57 |
23 24 25 33 40 44 48 56
|
vtocl2gaf |
|- ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( ph -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
58 |
57
|
com12 |
|- ( ph -> ( ( z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
59 |
58
|
3impib |
|- ( ( ph /\ z e. Y /\ w e. X ) -> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) = ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) |
60 |
59
|
mpoeq3dva |
|- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( z ( y e. Y , x e. X |-> A ) w ) ) ) |
61 |
22 60
|
eqtr4d |
|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) = ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) ) |
62 |
2 1
|
cnmpt2nd |
|- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> w ) e. ( ( K tX J ) Cn J ) ) |
63 |
2 1
|
cnmpt1st |
|- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> z ) e. ( ( K tX J ) Cn K ) ) |
64 |
2 1 62 63 3
|
cnmpt22f |
|- ( ph -> ( z e. Y , w e. X |-> ( w ( x e. X , y e. Y |-> A ) z ) ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) ) |
65 |
61 64
|
eqeltrd |
|- ( ph -> ( y e. Y , x e. X |-> A ) e. ( ( K tX J ) Cn L ) ) |