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Theorem dihmeetbclemN

Description: Lemma for isomorphism H of a lattice meet. (Contributed by NM, 30-Mar-2014) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses dihmeetc.b 
|- B = ( Base ` K )
dihmeetc.l 
|- .<_ = ( le ` K )
dihmeetc.m 
|- ./\ = ( meet ` K )
dihmeetc.h 
|- H = ( LHyp ` K )
dihmeetc.i 
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
Assertion dihmeetbclemN 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) i^i ( I ` W ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 dihmeetc.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 dihmeetc.l 
 |-  .<_ = ( le ` K )
3 dihmeetc.m 
 |-  ./\ = ( meet ` K )
4 dihmeetc.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
5 dihmeetc.i 
 |-  I = ( ( DIsoH ` K ) ` W )
6 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( X ./\ Y ) .<_ W )
7 simp1l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> K e. HL )
8 7 hllatd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> K e. Lat )
9 simp2l 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> X e. B )
10 simp2r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> Y e. B )
11 1 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
12 8 9 10 11 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( X ./\ Y ) e. B )
13 simp1r 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> W e. H )
14 1 4 lhpbase 
 |-  ( W e. H -> W e. B )
15 13 14 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> W e. B )
16 1 2 3 latleeqm1 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ W e. B ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ W <-> ( ( X ./\ Y ) ./\ W ) = ( X ./\ Y ) ) )
17 8 12 15 16 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) .<_ W <-> ( ( X ./\ Y ) ./\ W ) = ( X ./\ Y ) ) )
18 6 17 mpbid 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ W ) = ( X ./\ Y ) )
19 hlol 
 |-  ( K e. HL -> K e. OL )
20 7 19 syl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> K e. OL )
21 1 3 latmassOLD 
 |-  ( ( K e. OL /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ W e. B ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ W ) = ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) )
22 20 9 10 15 21 syl13anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( X ./\ Y ) ./\ W ) = ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) )
23 18 22 eqtr3d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( X ./\ Y ) = ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) )
24 23 fveq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( I ` ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) ) )
25 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
26 1 3 latmcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
27 8 10 15 26 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( Y ./\ W ) e. B )
28 1 2 3 latmle2 
 |-  ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ W e. B ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
29 8 10 15 28 syl3anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( Y ./\ W ) .<_ W )
30 1 2 3 4 5 dihmeetbN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ X e. B /\ ( ( Y ./\ W ) e. B /\ ( Y ./\ W ) .<_ W ) ) -> ( I ` ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
31 25 9 27 29 30 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ ( Y ./\ W ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) )
32 1 2 latref 
 |-  ( ( K e. Lat /\ W e. B ) -> W .<_ W )
33 8 15 32 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> W .<_ W )
34 1 2 3 4 5 dihmeetbN 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B /\ ( W e. B /\ W .<_ W ) ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) = ( ( I ` Y ) i^i ( I ` W ) ) )
35 25 10 15 33 34 syl112anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( Y ./\ W ) ) = ( ( I ` Y ) i^i ( I ` W ) ) )
36 35 ineq2d 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( ( I ` X ) i^i ( I ` ( Y ./\ W ) ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( ( I ` Y ) i^i ( I ` W ) ) ) )
37 24 31 36 3eqtrd 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( ( I ` Y ) i^i ( I ` W ) ) ) )
38 inass 
 |-  ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) i^i ( I ` W ) ) = ( ( I ` X ) i^i ( ( I ` Y ) i^i ( I ` W ) ) )
39 37 38 eqtr4di 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ ( X ./\ Y ) .<_ W ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) = ( ( ( I ` X ) i^i ( I ` Y ) ) i^i ( I ` W ) ) )