Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dihmeetlem9.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
dihmeetlem9.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
dihmeetlem9.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
4 |
|
dihmeetlem9.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
5 |
|
dihmeetlem9.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
6 |
|
dihmeetlem9.a |
|- A = ( Atoms ` K ) |
7 |
|
dihmeetlem9.u |
|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W ) |
8 |
|
dihmeetlem9.s |
|- .(+) = ( LSSum ` U ) |
9 |
|
dihmeetlem9.i |
|- I = ( ( DIsoH ` K ) ` W ) |
10 |
|
simp1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
11 |
3 7 10
|
dvhlmod |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> U e. LMod ) |
12 |
|
eqid |
|- ( LSubSp ` U ) = ( LSubSp ` U ) |
13 |
12
|
lsssssubg |
|- ( U e. LMod -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
14 |
11 13
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( LSubSp ` U ) C_ ( SubGrp ` U ) ) |
15 |
|
simp1l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. HL ) |
16 |
15
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> K e. Lat ) |
17 |
|
simp2l |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> X e. B ) |
18 |
|
simp2r |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> Y e. B ) |
19 |
1 5
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
20 |
16 17 18 19
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ./\ Y ) e. B ) |
21 |
1 3 9 7 12
|
dihlss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X ./\ Y ) e. B ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
22 |
10 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
23 |
14 22
|
sseldd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
24 |
1 6
|
atbase |
|- ( p e. A -> p e. B ) |
25 |
24
|
3ad2ant3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> p e. B ) |
26 |
1 3 9 7 12
|
dihlss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ p e. B ) -> ( I ` p ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
27 |
10 25 26
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` p ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
28 |
14 27
|
sseldd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
29 |
1 3 9 7 12
|
dihlss |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ Y e. B ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
30 |
10 18 29
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` Y ) e. ( LSubSp ` U ) ) |
31 |
14 30
|
sseldd |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` Y ) e. ( SubGrp ` U ) ) |
32 |
1 2 5
|
latmle2 |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) |
33 |
16 17 18 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) |
34 |
1 2 3 9
|
dihord |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X ./\ Y ) e. B /\ Y e. B ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) <-> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) ) |
35 |
10 20 18 34
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) <-> ( X ./\ Y ) .<_ Y ) ) |
36 |
33 35
|
mpbird |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) ) |
37 |
8
|
lsmmod |
|- ( ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` Y ) e. ( SubGrp ` U ) ) /\ ( I ` ( X ./\ Y ) ) C_ ( I ` Y ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) = ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
38 |
23 28 31 36 37
|
syl31anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) = ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
39 |
|
lmodabl |
|- ( U e. LMod -> U e. Abel ) |
40 |
11 39
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> U e. Abel ) |
41 |
8
|
lsmcom |
|- ( ( U e. Abel /\ ( I ` ( X ./\ Y ) ) e. ( SubGrp ` U ) /\ ( I ` p ) e. ( SubGrp ` U ) ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) = ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) ) |
42 |
40 23 28 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) = ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) ) |
43 |
42
|
ineq1d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( I ` p ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) ) |
44 |
38 43
|
eqtr2d |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( X e. B /\ Y e. B ) /\ p e. A ) -> ( ( ( I ` p ) .(+) ( I ` ( X ./\ Y ) ) ) i^i ( I ` Y ) ) = ( ( I ` ( X ./\ Y ) ) .(+) ( ( I ` p ) i^i ( I ` Y ) ) ) ) |