Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
fprodmodd.a |
|- ( ph -> A e. Fin ) |
2 |
|
fprodmodd.b |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. ZZ ) |
3 |
|
fprodmodd.c |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> C e. ZZ ) |
4 |
|
fprodmodd.m |
|- ( ph -> M e. NN ) |
5 |
|
fprodmodd.p |
|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( B mod M ) = ( C mod M ) ) |
6 |
|
prodeq1 |
|- ( x = (/) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. (/) B ) |
7 |
6
|
oveq1d |
|- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. (/) B mod M ) ) |
8 |
|
prodeq1 |
|- ( x = (/) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. (/) C ) |
9 |
8
|
oveq1d |
|- ( x = (/) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) |
10 |
7 9
|
eqeq12d |
|- ( x = (/) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) ) |
11 |
|
prodeq1 |
|- ( x = y -> prod_ k e. x B = prod_ k e. y B ) |
12 |
11
|
oveq1d |
|- ( x = y -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. y B mod M ) ) |
13 |
|
prodeq1 |
|- ( x = y -> prod_ k e. x C = prod_ k e. y C ) |
14 |
13
|
oveq1d |
|- ( x = y -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) |
15 |
12 14
|
eqeq12d |
|- ( x = y -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) ) |
16 |
|
prodeq1 |
|- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x B = prod_ k e. ( y u. { i } ) B ) |
17 |
16
|
oveq1d |
|- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) ) |
18 |
|
prodeq1 |
|- ( x = ( y u. { i } ) -> prod_ k e. x C = prod_ k e. ( y u. { i } ) C ) |
19 |
18
|
oveq1d |
|- ( x = ( y u. { i } ) -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) |
20 |
17 19
|
eqeq12d |
|- ( x = ( y u. { i } ) -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) ) |
21 |
|
prodeq1 |
|- ( x = A -> prod_ k e. x B = prod_ k e. A B ) |
22 |
21
|
oveq1d |
|- ( x = A -> ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. A B mod M ) ) |
23 |
|
prodeq1 |
|- ( x = A -> prod_ k e. x C = prod_ k e. A C ) |
24 |
23
|
oveq1d |
|- ( x = A -> ( prod_ k e. x C mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) |
25 |
22 24
|
eqeq12d |
|- ( x = A -> ( ( prod_ k e. x B mod M ) = ( prod_ k e. x C mod M ) <-> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) ) |
26 |
|
prod0 |
|- prod_ k e. (/) B = 1 |
27 |
26
|
a1i |
|- ( ph -> prod_ k e. (/) B = 1 ) |
28 |
27
|
oveq1d |
|- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( 1 mod M ) ) |
29 |
|
prod0 |
|- prod_ k e. (/) C = 1 |
30 |
29
|
eqcomi |
|- 1 = prod_ k e. (/) C |
31 |
30
|
oveq1i |
|- ( 1 mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) |
32 |
28 31
|
eqtrdi |
|- ( ph -> ( prod_ k e. (/) B mod M ) = ( prod_ k e. (/) C mod M ) ) |
33 |
|
nfv |
|- F/ k ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) |
34 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ i / k ]_ B |
35 |
|
ssfi |
|- ( ( A e. Fin /\ y C_ A ) -> y e. Fin ) |
36 |
35
|
ex |
|- ( A e. Fin -> ( y C_ A -> y e. Fin ) ) |
37 |
36 1
|
syl11 |
|- ( y C_ A -> ( ph -> y e. Fin ) ) |
38 |
37
|
adantr |
|- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( ph -> y e. Fin ) ) |
39 |
38
|
impcom |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> y e. Fin ) |
40 |
|
simpr |
|- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. ( A \ y ) ) |
41 |
40
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> i e. ( A \ y ) ) |
42 |
|
eldifn |
|- ( i e. ( A \ y ) -> -. i e. y ) |
43 |
42
|
adantl |
|- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> -. i e. y ) |
44 |
43
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> -. i e. y ) |
45 |
|
simpll |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> ph ) |
46 |
|
ssel |
|- ( y C_ A -> ( k e. y -> k e. A ) ) |
47 |
46
|
adantr |
|- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) ) |
48 |
47
|
adantl |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( k e. y -> k e. A ) ) |
49 |
48
|
imp |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> k e. A ) |
50 |
45 49 2
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. ZZ ) |
51 |
50
|
zcnd |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> B e. CC ) |
52 |
|
csbeq1a |
|- ( k = i -> B = [_ i / k ]_ B ) |
53 |
|
eldifi |
|- ( i e. ( A \ y ) -> i e. A ) |
54 |
53
|
adantl |
|- ( ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) -> i e. A ) |
55 |
2
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A B e. ZZ ) |
56 |
|
rspcsbela |
|- ( ( i e. A /\ A. k e. A B e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ ) |
57 |
54 55 56
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ ) |
58 |
57
|
zcnd |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ B e. CC ) |
59 |
33 34 39 41 44 51 52 58
|
fprodsplitsn |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) B = ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) ) |
60 |
59
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) ) |
61 |
60
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) ) |
62 |
39 50
|
fprodzcl |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ ) |
63 |
62
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y B e. ZZ ) |
64 |
45 49 3
|
syl2anc |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. ZZ ) |
65 |
39 64
|
fprodzcl |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ ) |
66 |
65
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> prod_ k e. y C e. ZZ ) |
67 |
57
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ B e. ZZ ) |
68 |
3
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A C e. ZZ ) |
69 |
|
rspcsbela |
|- ( ( i e. A /\ A. k e. A C e. ZZ ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ ) |
70 |
54 68 69
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ ) |
71 |
70
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> [_ i / k ]_ C e. ZZ ) |
72 |
4
|
nnrpd |
|- ( ph -> M e. RR+ ) |
73 |
72
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> M e. RR+ ) |
74 |
73
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> M e. RR+ ) |
75 |
|
simpr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) |
76 |
5
|
ralrimiva |
|- ( ph -> A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) |
77 |
|
rspsbca |
|- ( ( i e. A /\ A. k e. A ( B mod M ) = ( C mod M ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) ) |
78 |
54 76 77
|
syl2anr |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) ) |
79 |
|
vex |
|- i e. _V |
80 |
|
sbceqg |
|- ( i e. _V -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) ) |
81 |
79 80
|
mp1i |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [. i / k ]. ( B mod M ) = ( C mod M ) <-> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) ) |
82 |
78 81
|
mpbid |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = [_ i / k ]_ ( C mod M ) ) |
83 |
|
csbov1g |
|- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) ) |
84 |
83
|
elv |
|- [_ i / k ]_ ( B mod M ) = ( [_ i / k ]_ B mod M ) |
85 |
|
csbov1g |
|- ( i e. _V -> [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) ) |
86 |
85
|
elv |
|- [_ i / k ]_ ( C mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) |
87 |
82 84 86
|
3eqtr3g |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) ) |
88 |
87
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( [_ i / k ]_ B mod M ) = ( [_ i / k ]_ C mod M ) ) |
89 |
63 66 67 71 74 75 88
|
modmul12d |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y B x. [_ i / k ]_ B ) mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) ) |
90 |
|
nfcsb1v |
|- F/_ k [_ i / k ]_ C |
91 |
64
|
zcnd |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ k e. y ) -> C e. CC ) |
92 |
|
csbeq1a |
|- ( k = i -> C = [_ i / k ]_ C ) |
93 |
70
|
zcnd |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> [_ i / k ]_ C e. CC ) |
94 |
33 90 39 41 44 91 92 93
|
fprodsplitsn |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> prod_ k e. ( y u. { i } ) C = ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) ) |
95 |
94
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) = ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) ) |
96 |
95
|
eqcomd |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) |
97 |
96
|
adantr |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( ( prod_ k e. y C x. [_ i / k ]_ C ) mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) |
98 |
61 89 97
|
3eqtrd |
|- ( ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) /\ ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) |
99 |
98
|
ex |
|- ( ( ph /\ ( y C_ A /\ i e. ( A \ y ) ) ) -> ( ( prod_ k e. y B mod M ) = ( prod_ k e. y C mod M ) -> ( prod_ k e. ( y u. { i } ) B mod M ) = ( prod_ k e. ( y u. { i } ) C mod M ) ) ) |
100 |
10 15 20 25 32 99 1
|
findcard2d |
|- ( ph -> ( prod_ k e. A B mod M ) = ( prod_ k e. A C mod M ) ) |